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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Bruch mit Wurzeln Umformung und Bestimmung von Variablen
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Schule J Bruch mit Wurzeln Umformung und Bestimmung von Variablen
infosoccom
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2021-09-19

Hallo, folgende Aufgabe: Hatte ich vergessen anzugeben: x > 0 und a, b, c und d sind ganzzahlig. Wählen sie a, b, c so, dass d kleinstmöglich aber positiv ist (2+sqrt(x))/(-2-sqrt(x)) = (a+b*sqrt(x))/(c*x+d) Wenn ich den Bruch mit: -2+sqrt(x) erweitere und dann die 3. Binomische Formel anwende erhalte ich: (-4+x)/(4-x) Ich weiß nicht, wie ich den Bruch weiter umformen kann um ihn in der zur Bestimmung von a, b, c und d benötigen Form zu bekommen. Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir jemand helfen könnte.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7856
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Hm. Das ist eine seltsame Aufgabenstellung. Schaue dir einmal die linke Seite an, dort steht einfach nur \(-1\). Du könntest also von vorn herein von der folgenden Gleichung ausgehen: \[\frac{a+b\sqrt{x}}{cx+d}=-1\] Und die stimmt für alle \(x>0\) offensichtlich genau dann, wenn \(a=-d\neq 0\) und \(b=c=0\) gilt. In welchem Zusammenhang bist du denn darüber gestolpert? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)


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infosoccom
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.09.2021
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19

Vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte folgendes vergessen anzugeben: x>0 sowie a, b, c und d sind ganzzahlig und a, b und c sollen so gewählt werden, sodass d kleinstmöglich aber positiv ist.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7856
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wie gesagt: das kann so (bis auf die oben angegebenen Triviallösungen*) nicht funktionieren, denn auf der rechten Seite steht im Zähler eine Wurzelfunktion, im Nenner jedoch eine lineare Funktion. Der Bruch soll aber konstant sein. Oder hast du dich irgendwo vertippt? Am besten gibst du einmal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut an. Die Lösung \(a=-1,\ b=c=0,\ d=1\) würde deinen obigen Anforderungen jedoch genügen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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infosoccom
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19

Aufgabe im Originalwortlaut: Es sei x > 0. Für welche ganzzahligen a, b, c und d gilt: (2+sqrt(x))/(-2-sqrt(x)) = (a+b*sqrt(x))/(c*x+d) ? Wählen sie a, b, c so, dass d kleinst möglich, aber positiv ist.


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infosoccom
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Mitteilungen: 6
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19

Stimmt a = -1, b = 0, c= 0 und d = 1 ist richtig. Danke nochmal.


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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-19

Nach einer Umformung würde ich a+b*sqrt(x)+c*x+d=0 erhalten. Die Lösung von Diophant für ein kleinstmögliches d, ist denke ich die einzige Lösung, die für alle x funktioniert. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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