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Universität/Hochschule J Unemployment and a reduced workweek
Axerstein
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  Themenstart: 2021-09-21

Einen wunderschönen guten Tag! Bei folgendem Beispiel bin ich mir unsicher, ob ich es richtig gelöst habe: In an effort to increase employment, France mandated in February 2000 that all companies with 20 or more employees reduce the workweek to 35 hours. The economic of the shortened workweek was analyzed in Economic Policy (2008). The researchers focused on several key variables such as hourly wages, dual job holdings and level of unemployment. Assume that in the year prior to the 35 -hour workweek law, unemployment in France was $12 \%$. Suppose that in a random sample of 500 French citizens (eligible workers) taken several years after the law was enacted, 53 were unemployed. Determine if the French unemployment rate dropped after the enactment of the 35 -hour workweek law. Ich vermute das Beispiel kann man mit einem Hypothesentest lösen mit $\alpha=0.05$, meine Hypothese wäre $$H_0: p=0.12 \quad H_1: p<0.12$$ Damit wäre meine Nullhypothese, dass die Arbeitslosenrate noch immer bei $12\%$ ist, diese Hypothese würde ich nun versuchen abzulehnen. Meine Stichprobe $X_1,...,X_{500}$ besteht aus den 500 Personen, die entweder arbeitslos sind oder nicht, also sind alle $X_i$ Bernoulli-verteilt mit $\hat p = \frac{53}{500} = 0.106$, demnach ist meine Statistik $T(X)=X_1+...+X_{500}\sim \text{Bin}(n=500,\hat p=0.106)$. Nun würde ich versuchen die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass $p=0.12$. Falls die unter $\alpha$ wäre, könnt ich meine Nullhypothese ablehnen. $$\mathbb P(T(X)=500*0.12)=\binom{500}{60}0.106^{60}(1-0.106)^{440}\approx0.03$$ Damit habe ich meine Nullhypothese widerlegt. Habe ich das Beispiel richtig gelöst? Lg Axerstein


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen, um ehrlich zu sein. Meiner Ansicht nach reicht es hier aus, für die Binomialverteilung \(B(500,0.12)\) Annahme- bzw. Ablehnungsbereich der gewählten Nullhypothese zu bestimmen und zu schauen, zu welchem dieser Bereiche die 53 gehört. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Axerstein
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Ich versuche es mal mit einem Konfidenzintervall. Ich weiß, dass $$\sqrt{n}(\hat p-p)\approx \mathcal{N}(0,\hat p(1-\hat p))$$ mit $\hat p=0.12$. Weiters gilt $$\sqrt{\frac{p(1-p)}{\hat p(1-\hat p)}}\cdot\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\approx\mathcal N(0,1)$$ damit erhalte ich $$\mathbb P\left(-z_{\alpha/2}\le\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}} \le z_{\alpha/2}\right)\approx 1-\alpha$$ wobei $z_{\alpha/2}$ mein $\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)$-Quantil ist von $\mathcal N(0,1)$, mein Intervall erhalte ich demnach mit $$\left[\hat p-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\hat p+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$$ Eingesetzt erhalte ich damit $$\left[0.12-1.96\sqrt{\frac{0.12\cdot 0.88}{500}},0.12+1.96\sqrt{\frac{0.12\cdot 0.88}{500}}\right]\approx[0.092,0.15]$$ Damit ist aber $\frac{53}{500}=0.106$ in dem Intervall enthalten, wodurch die Arbeitslosenquote nicht gefallen ist. Habe ich es jetzt so richtig gelöst? Lg Axerstein


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, Hier: \quoteon(2021-09-21 15:11 - Axerstein in Beitrag No. 2) Weiters gilt $$\sqrt{\frac{p(1-p)}{\hat p(1-\hat p)}}\cdot\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\approx\mathcal N(0,1)$$ \quoteoff kann man nach meiner Kenntnis gleich folgendermaßen ansetzen: \[U=\sqrt{\frac{n}{\hat p(1-\hat p)}}\cdot(\hat p-p)\approx \mc{N}(0,1)\] Deine Version sieht aber nach den entsprechenden Vereinfachungen genauso aus. Also ja: so kann man das machen, wenn es so verlangt wird. (Wobei ich jetzt nicht alles komplett durchgecheckt habe, aber der Ansatz stimmt, wie gesagt.) Wie ich schon in #1 angemerkt hatte: rein praktisch gesehen tut es hier in meinen Augen auch ein einfacher Binomialtest (das hattest du ja wohl ursprünglich auch vor?). Ich erhalte damit für die Anzahl der Arbeitslosen einen Annahmebereich von \(\lbrace 48,49,\dotsc,500\rbrace\) für die Nullhypothese. Und komme damit zum selben Schluss: zum angegebenen Siginifikanzniveau kann man die Nullhypothese nicht verwerfen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Axerstein
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Vielen Dank für die Antwort! Der Begriff "Binomialtest" sagt mir nichts, in der Vorlesung haben wir Konfidenzintervalle und Hypothesentests behandelt. Addiere ich beim Binomialtest in dem Fall von 0 bis zu dem Wert "i" alle Binomialverteilungen zusammen, bis ich meinen Wert $\alpha=0.05$ ziemlich nahe komme und schaue, ob 53 größer oder kleiner i ist? Lg Axerstein


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-09-21 15:41 - Axerstein in Beitrag No. 4) Vielen Dank für die Antwort! Der Begriff "Binomialtest" sagt mir nichts, in der Vorlesung haben wir Konfidenzintervalle und Hypothesentests behandelt. \quoteoff Da gibt es ja oft das Missverständnis, dass diese Begriffe unweigerlich mit der Normalverteilung zu tun haben müssen. Dem ist aber nicht so. Ein Hypothesentest liegt auch beim Binomialtest vor, und die Annahme- und Ablehnungsbereiche werden ja gerne auch mal als Intervalle bezeichnet (was aber natürlich mathematisch nicht korrekt ist). Aber das, was ich bspw. oben Annahmebereich genannt habe, entspricht ja in der Sache dem Konfidenzintervall im stetigen Fall. \quoteon(2021-09-21 15:41 - Axerstein in Beitrag No. 4) Addiere ich beim Binomialtest in dem Fall von 0 bis zu dem Wert "i" alle Binomialverteilungen zusammen, bis ich meinen Wert $\alpha=0.05$ ziemlich nahe komme und schaue, ob 53 größer oder kleiner i ist? \quoteoff Genau. Nur dass man hier eben das Signifikanzniveau i.a. nicht exakt abdecken kann, so dass man schauen muss, dass man die Grenze so setzt, dass der Annahmebereich mindestens die Wahrscheinlichkeit \(1-\alpha\) hat. Bei uns in Baden-Württemberg war das (oder ist noch?) zeitweise Abi-Stoff. Kennst du das nicht aus der Schule? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Axerstein
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Ich habe die Matura in Österreich gemacht, da haben wir nur Konfidenzintervalle von der Normalverteilung gelernt. Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe! Lg Axerstein


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Axerstein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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