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Mathematik » Stochastik und Statistik » Approximation durch eine Normalverteilung
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Universität/Hochschule J Approximation durch eine Normalverteilung
julian2000P
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  Themenstart: 2021-09-21

Hallo zusammen, ich lerne gerade für eine Statistik Prüfung und bin in unseren Folien auf folgendes gestoßen: Seien $X_1,X_2, ...$ i.i.d $Exp(1)$ mit $\mathbb{E}[X_1] = 1$ und $\mathbb{V}[X_1] = 1$. Nach dem zentralen Grenzwertsatz folgt \[ \sqrt{n}(\bar{X_n} - 1) \implies \mathcal{N}(0,1) \] Das ist mir klar. Nun steht aber folgendes \[ \bar{X_n} \approx \mathcal{N}(1,\frac{1}{n}) \] Wie würde ich das "beweisen"? Die Konvergenz in Verteilung, heißt in dem Fall ja, dass die Verteilungsfunktionen punktweise konvergieren. Dann \[ \sqrt{n}(\bar{X_n} - 1) \approx \mathcal{N}(0,1) \] "umformen" ergibt \[ \bar{X_n} \approx \frac{1}{\sqrt{n}} \mathcal{N}(0,1) + 1 \] Aus den Eigenschaften der Normalverteilung erhält man \[ \bar{X_n} \approx \mathcal{N}(1,\frac{1}{n}) \] Stimmt das so? Dann noch eine Frage, wozu ich das ganze mache, weil das auf die Art eigentlich dauernd vorkommt? Liegt es daran, dass ich mit einer Normalverteilung sehr gut und einfach rechnen kann und deswegen daran interessiert bin diese Verteilung normal zu approximieren? Danke schon mal. Grüße


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-22

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, mit deinem "Umformen" habe ich etwas Schwierigkeiten. *Ich* wuerde eher argumentieren im Sinne von $Y\approx\mathcal{N}(0,1)\iff P(Y\le y)\approx\Phi(y)$ fuer alle $y\in\IR$: \[ \begin{align*} \sqrt{n}(\bar{X_n} - 1) \approx \mathcal{N}(0,1) &\iff P\left(\sqrt{n}(\bar{X_n} - 1)\le y\right)\approx\Phi(y) \\ &\iff P\left(\bar{X_n}\le \dfrac{y}{\sqrt{n}}+1\right)\approx\Phi(y) \end{align*} \] fuer alle $y\in\IR$, also $P(\bar{X_n}\le z)\approx\Phi(\sqrt{n}(z-1))$ fuer alle $z\in\IR$, so dass $\bar X_n\approx\mathcal{N}(1,1/\sqrt{n})$. In der Tat, die NV hat viele angenehme Eigenschaften und zum Glueck koennen viele Verteilungen durch sie approximiert werden, namentlich, wenn arithmetische Mittel involviert sind (ZGS). Leider gibt es aber auch viele Verteilungen, fuer die das nicht gilt, z.B. im Zusammenhang mit Ordnungsstatistiken. vg Luis P.S. Ein aufmerksamer hat mich darauf hingewiesen, dass es $\bar X_n\approx\mathcal{N}(1,1/n)$, und nicht $\bar X_n\approx\mathcal{N}(1,1/\sqrt{n})$ heissen muss. (Der Fluch von Cut-and-paste.)\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22

Hallo Luis, danke für die Antwort, so macht das ganze natürlich mehr Sinn. Danke auch für die Erklärung zu meiner zweiten Frage. Damit kann ich das Thema abhaken. Grüße


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