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  Notwendigkeit der Winkelfunktion |
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2021-09-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Hallo, ich habe eine etwas blöde Frage, die mich aber nicht loslässt.
Angenommen ich kenne bei einem Dreieck die Seiten \(a\) und \(x_D\). Hierbei entspricht \(a\) der Gegenkathete und \(x_D\) der Ankathete.
Nun gibt es eine Kraft \(F_C\). Ich weiß, dass die Kraft genau in Richtung der Hypotenuse wirkt. Nun möchte ich die Ankathete-Komponente der Kraft bestimmen, diese Komponente nenne wir \(F_{C_z}\).
Mein erster Ansatz wäre folgender gewesen:
\[F_{C_z}=F_C \cdot \cos{\(\arctan{\(\frac{a}{x_D}\)}\)}\]
Also einfach erstmal den Winkel bestimmen mit \(\ds \arctan{\(\frac{a}{x_D}\)} \) und dann die Ankathete der Kraft ausrechnen, mit dem Kosinus.
Meine Frage ist nun: Geht das auch ohne Winkelfunktionen?
Ich denke hier beispielsweise an folgendes:
\[F_{C_z} = F_C \cdot \frac{x_D}{a} \]
Das stimmt jetzt nicht, damit wollte ich nur verdeutlichen, dass man vielleicht mit Anteilen oder sowas in der Art rechnen kann.
Wolfram Mathematica sagt zum Beispiel folgendes, was ich allerdings leider nicht nachvollziehen kann:
\sourceon Mathematica
In[1]:= Cos[ArcTan[a/x_D]]
Out[1]= 1/Sqrt[1 + a^2/x_D^2]
\sourceoff
Ich habe jetzt auf Skizzen verzichtet, da ich weiß, dass viele MP-Mitglieder eine sehr gute Vorstellungskraft haben. Sollte trotzdem jemand der Meinung sein, dass eine Skizze notwendig ist, werde ich diese hinzufügen.
Ich freue mich auf eure Antworten.
Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10896
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-21
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Hallo Spedex,
ohne das jetzt gründlich durchgelesen zu haben: die Winkelfunktionen stellen in der Geometrie ja gerade den Zuammenhang zwischen Längen und Winkeln her. Insbesondere natürlich am rechtwinkligen Dreieck, wo sie definiert sind.
Also nein: ohne geht es nicht, wenn man eben den Zusammenhang zwischen Längen (hier: der Länge eines Kraftpfeils) und Winkeln braucht.
EDIT: in diesem speziellen Fall ginge es bspw. auch mit dem Standardskalarprodukt. Was aber gewissermaßen eine Mogelpackung wäre, da das ja eng mit der Kosinusfunktion zusammenhängt.
Gruß, Diophant
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3555
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-21
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Kombinationen aus Winkelfunktionen und Arkusfunktionen lassen sich manchmal durch algebraische Ausdrücke darstellen, so auch hier. Ich nenne die Hypothenuse mal $C$. Für den Winkel $\alpha = \arctan(a/x_D)$ gilt ja $\cos \alpha = x_D / C$, also nach dem Satz des Pythagoras $\cos\alpha = \frac{x_D}{\sqrt{x_D^2 + a^2}}$.
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21
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Super, vielen Dank.
Liebe Grüße
Spedex
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