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Mathematik » Analysis » Schwache Konvergenz übertragen auf Abs(x)
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Universität/Hochschule Schwache Konvergenz übertragen auf Abs(x)
dilch
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  Themenstart: 2021-09-22

Liebe alle, ich habe eine Testphunktion \(\phi\in C^3[0,1]\) und schwache Konvergenz in \(L^1\) einer Folge \(f_N\) in der Form, dass ich \[ \lim | \int (f_N-f)\phi dx | =0 \] weiß. Nun möchte ich im Folgenden aber \[ \lim | \int (|1-f_N|-|1-f|)\phi dx | =0 \] zeigen, geht das irgendwie? Ich rechne schon rum wie wahnsinning


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, eine Version der umgekehrten Dreiecksungleichung ist doch: \[\left||x|-|y|\right|\le\left|x\pm y\right|\] Wenn ich nichts übersehe, sollte man damit das zweite Integral nach oben abschätzen können so dass man im Prinzip das obere Integral erhält, nur mit einem Paar Betragsklammern mehr. Sie loszuwerden sollte aber eigentlich kein Problem sein. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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dilch
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20 13:41

Lieber Diophant, dankeschön, etwas ähnliches hatte ich auch schon stehen. Ist da aber nicht das Problem, dass \[ \lim | \int (f_N-f)\phi dx | =0 \] nicht \[ \lim \int |(f_N-f)| \phi dx =0 \] impliziert? Da \(f^N \) schlimm oszillieren könnte? Ich bin mir gar nicht mehr sicher, ob es geht


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