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Mathematik » Topologie » Beweis über offene Teilmengen
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Universität/Hochschule Beweis über offene Teilmengen
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-09-23

Hallo zusammen Ich habe habe folgende Aufgabe. Seien \((M_1,d_1),(M_2,d_2)\) zwei metrische Räume. Es sind zwei Metriken gegeben \(d((x_1,x_2),(y_1,y_2)=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)\) und \(d'((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)}\). Wir müssen zeigen, dass die offenen Teilmengen bezüglich dieser Metriken übereinstimmen. Ich hätte es da wie folgt versucht. Wir wissen, dass eine endliche Vereinigung von offenen Mengen offen ist. So besteht jede offene Teilmenge in einem metrischen Raum aus einer Vereinigung von offenen Bällen bezüglich der Metrik. Wir wählen nun also einen beliebigen Punkt \((x_1,x_2)\in M_1\times M_2\) und r>0. Nun betrachten wir den offenen Ball \(B^{(d)}_r(x_1,x_2)=\{(y_1,y_2)|d((x_1,x_2),(y_1,y_2))


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wenn du zeigen willst, dass beide Metriken die selbe Topologie induzieren dann musst du auch die umgekehrte Richtung zeigen: Sei $x\in M:=M_1\times M_2$ und $\varepsilon >0$. Zeige nun dass es $\delta,\delta'>0$ gibt, so dass zum einen $$ B_{\delta'}^{d'}(x)\subseteq B_\varepsilon^{d}(x) $$ gilt, aber eben auch $$ B_\delta^{d}(x)\subseteq B_\varepsilon^{d'}(x). $$ Wenn das gilt, dann ist natürlich klar, dass eine Teilmenge von $M$ genau dann bezüglich $d$ offen ist, wenn sie bezüglich $d'$ offen ist. LG Nico \(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

Hallo Vielen herzlichen Dank, aber dann stimmt meine erste Richtung so? dann muss ich nur noch die zweite machen?


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