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Mathematik » Topologie » Stetigkeit der kanonischen Projektion
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Universität/Hochschule J Stetigkeit der kanonischen Projektion
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  Themenstart: 2021-09-23

Hallo Zusammen Ich sitze gerade an einem Beweis über die Stetigkeit der kanonischen Projektion, und ehrlich gesagt stehe ich da schon eine weile an. Ich habe verschiedenste Sätze ausprobiert doch irgendwie nie die passende Idee gefunden. Wir haben wieder \((M_1,d_1),(M_2,d_2)\) zwei metrische Räume. Und wir müssen zeigen dass die Kanonische Projektion \(p_i:M_1\times M_2 \rightarrow M_i\) stetig ist. Ich habe mir zuerst gedacht, dass ich über das "Umgebungskriterium" die Stetigkeit zeige. Also: Wähle eine beliebige Umgebung \(U\) von \(p_i(x_1,x_2)=:x_i\) wobei \((x_1,x_2)\in M_1\times M_2\). Per Definition $$\exists r>0: B_r(x_i)\subset U$$ Nun möchten wir zeigen dass \(V:=p_i^{(-1)}({U})\) eine Umgebung von \(x_1,x_2)\) ist. Doch hier habe ich irgendwie Mühe einen Radius r zu konstruieren damit die offene Kugel um \(x_1,x_2)\) mit Radius r in V liegt. Kann mir hier jemand einen Hinweis geben? Vielen Dank!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-23

Hallo, zunächst einmal müsstest du auf dem Produkt eine Topologie angeben. Die Produkttopologie ist z.B. gerade so definiert, dass die Projektionen stetig sind. Ansonsten musst du zumindest eine Metrik angeben bezüglich derer die Stetigkeit gezeigt werden soll. LG Nico


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

Hallo, also leider haben wir erst begonnen zu definieren was eine Topologie ist, sprich ich weiss eigentlich gar noch nicht wie man eine Topologie angibt... Ah also in einer vorherigen Teilaufgabe mussten wir zeigen dass $$d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)$$ eine Metrik auf \(M_1 \times M_2\) darstellt. könnte ich nun sagen ich möchte Stetigkeit bezüglich dieser Metrik zeigen? denn die Aufgabe an sich lautet wirklich nur: "Zeige dass die Kanonische Projektionen \(p_i\) stetig sind und verallgemeinere das Resultat auf einem endlichen Kartesischen Produkt von metrischen Räumen" wobei ich nun erst mal den ersten Teil machen möchte


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-23

\quoteon(2021-09-23 22:15 - Strandkorb im Themenstart) Nun möchten wir zeigen dass \(V:=p_i^{(-1)}({U})\) eine offene Umgebung von \(x_1,x_2)\) ist. \quoteoff Du möchtest eigentlich nur zeigen, dass $V$ eine Umgebung von $(x_1,x_2)$ ist. Sie muss nicht offen sein. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

\quoteon(2021-09-23 22:46 - zippy in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-09-23 22:15 - Strandkorb im Themenstart) Nun möchten wir zeigen dass \(V:=p_i^{(-1)}({U})\) eine offene Umgebung von \(x_1,x_2)\) ist. \quoteoff Du möchtest eigentlich nur zeigen, dass $V$ eine Umgebung von $(x_1,x_2)$ ist. Sie muss nicht offen sein. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Oh ja habe ich korrigiert, da ist vor lauter offen/abgeschlossen ein offen zu viel hineingeraten. Aber leider löst sich das Problem trotzdem noch nicht


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-23

\quoteon(2021-09-23 22:49 - Strandkorb in Beitrag No. 4) Aber leider löst sich das Problem trotzdem noch nicht \quoteoff Zumindest wird es jetzt lösbar. Probiere doch mal, mit der Metrik aus Beitrag Nr. 2, für die Kugel in $V$ den gleichen Radius wie für die Kugel in $U$ aus.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

\quoteon(2021-09-23 22:54 - zippy in Beitrag No. 5) \quoteon(2021-09-23 22:49 - Strandkorb in Beitrag No. 4) Aber leider löst sich das Problem trotzdem noch nicht \quoteoff Zumindest wird es jetzt lösbar. Probiere doch mal, mit der Metrik aus Beitrag Nr. 2, für die Kugel in $V$ den gleichen Radius wie für die Kugel in $U$ aus. \quoteoff Sorry aber ich sehe noch nicht ganz wie, denn ich muss ja dann zeigen dass $$B_r(x_1,x_2)\subset V$$ aber ich weiss ja eigentlich nichts über V ausser dass es das Urbild von U bezüglich p_i ist


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-23

\quoteon(2021-09-23 23:03 - Strandkorb in Beitrag No. 6) ich muss ja dann zeigen dass $B_r(x_1,x_2)\subset V$ aber ich weiss ja eigentlich nichts über V ausser dass es das Urbild von U bezüglich p_i ist \quoteoff Es ist $B_r(x_1,x_2)\subseteq p_i^{-1}(U) \iff p_i\bigl(B_r(x_1,x_2)\bigr)\subseteq U$.


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

sorry ich stehe gerade zimlich auf dem Schlauch, ich schaue diese Aufgabe einfach schon zu lange an ohne etwas zu erkennen. also nochmals ich habe bis jetzt folgendes: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_CamScanner_09-23-2021_23.31n_1.jpg wie ich das sehe muss ich es nun noch schaffen zu zeigen, dass a in U liegt. Meiner Ansicht nach wäre es nützlich wenn man zeigen könnte, dass $$a\in B_r(p_i(x_1,x_2))$$ liegen würde


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-23

Du schreibst $p_i^{-1}(\{U\})$. Es geht aber um $p_i^{-1}(U)$. Wenn $a\in p_i\bigl(B_r(x_1,x_2)\bigr)$, dann gibt es ein $(y_1,y_2)\in B_r(x_1,x_2)$ mit $a=p_i(y_1,y_2)=y_i$. Jetzt musst du nur noch die Definition der Metrik auf dem Produkt ausnutzen:$$ d_i\bigl(a,p_i(x_1,x_2)\bigr) = d_i(y_i,x_i) \le d\bigl((y_1,y_2),(x_1,x_2)\bigr)


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

aha okei macht sinn aber muss mir das nochmals in ruhe durchrechnen.


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