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Mathematik » Stochastik und Statistik » Asymptotik von Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Asymptotik von Zufallsvariablen
julian2000P
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  Themenstart: 2021-09-28 20:13

Hallo zusammen, ich habe noch eine Frage zu einer alten Prüfungsaufgabe. Seien $X_1,...,X_k$ unabhängige Zufallsvariablen von einer gemeinsamen Verteilung mit endlichem zweiten Moment. Sei $W:= \sum_{i=1}^k(X_i - \bar{X})^2$, wobei $\bar{X}$ das Stichprobenmittel ist. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? \[ \begin{align*} &a. \; \; \; (k-1)W\overset{d}{\rightarrow} \mathbb{V}ar(X_1) \chi^2(k-1), \; \; \text{ wenn } k \to \infty\\ &b. \; \; \; W/\sigma^2 \sim \chi^2(k-1) \\ &c. \; \; \; W\overset{d}{\rightarrow} \mathbb{V}ar(X_2) \chi^2(k-1), \; \; \text{ wenn } k \to \infty \\ &d. \; \; \; (k-1)W/\sigma^2 \sim \chi^2(k-1) \end{align*} \] Da die Daten nicht notwendigerweise normalverteilt sind (wobei $\sigma^2$ die Varianz wäre, was hier aber natürlich auch gar nicht dabei steht), schließe ich c) aus. Ebenso schließe ich d) aus, da ich die genaue Verteilung so denke ich nicht angeben kann. Bleiben noch c) und d). Mit diesen beiden Antworten kann ich mich auch nicht anfreunden, wie kann denn der Grenzwert selbst noch von $k$ abhängen, wenn ich $k$ gegen unendlich gehen lasse? Damit bleibt aber leider keine Antwortmöglichkeit mehr übrig. Kann mir hier jemand helfen? Mir wäre auch schon geholfen wenn diese Aufgabe für sonst noch jemanden keinen Sinn ergibt, dann weiß ich zumindest, dass es nicht an mir liegt. Danke! Grüße


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-29 11:49

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-09-28 20:13 - julian2000P im Themenstart) Kann mir hier jemand helfen? Mir wäre auch schon geholfen wenn diese Aufgabe für sonst noch jemanden keinen Sinn ergibt, dann weiß ich zumindest, dass es nicht an mir liegt. \quoteoff Moin, auch fuer mich ergibt keine der Antwortmoeglichkeiten Sinn. Bei a) und c) haengt die asymptotische Verteilung von $k$ ab, b) und d) sind falsch, wenn die GG Bernoulli-verteilt ist. Vielleicht kannst du hier etwas Honig saugen. vg Luis\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-29 15:30

Hallo Luis, super, vielen Dank für die Rückmeldung. Dann weiß ich jetzt, dass es wenigstens nicht an mir liegt und danke auch für den weiterführenden Link. Grüße


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-29 17:05

Deine Pruefer lassen anscheinend hin und wieder die notwendige Sorgfalt bei der Formulierung ihrer Aufgaben vermissen ... 😒 vg Luis


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