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Kein bestimmter Bereich Übersicht bzgl Anzahl von Primzahltupeln PI_k(X) unterhalb 10^n
pzktupel
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  Themenstart: 2021-09-28 21:12

Huhu ! Da mein Verfahren doch relativ schnell ist, habe ich mir mal erlaubt, über die Primzahl-Zählfunktion Pi(X) hinaus für k-Tupel diese auch noch zu ergänzen. Für Zwillinge wurden in der Vergangenheit die Werte allerdings bis 10^16 schon berechnet. Für Drillinge bis hin zu Zwölflingen gab es allerdings keine Information dazu im Internet....bis jetzt 😁 Die einzige Übersicht findet man hier: http://www.pzktupel.de/Tables.html Ab und an, kommt mal eine Erweiterung hinzu. Grüße pzktupel


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Primentus
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-30 23:48

Hallo pzktupel, das ist sehr schön, jeweils die Anzahl Primzahl-$k$-Tupel bis zu bestimmten Zehnerpotenzen in einer Übersicht zu haben. Für $k=1$ kannte ich die Werte für $n=10^1$, $10^2$, $10^3$, $10^4$ und $10^5$ bereits auswendig. Alle sonstigen Werte habe ich jedoch noch nicht so genau untersucht. Bei den Zahlen fällt auf, je höher $k$ ist, desto mehr scheinen sich die Anzahl Tupel gar nicht oder nur geringfügig zu ändern, und ab einem bestimmten Exponenten scheinen die Werte auf einmal zu "explodieren", so dass man den Eindruck bekommen könnte, dass je höher die Zehnerpotenz, desto größer die Dichte der Primzahl-Tupel. Aber das täuscht natürlich, da es z. B. zwischen $10^{7}$ und $10^{8}$ viel viel weniger Zahlen gibt als z. B. zwischen $10^{16}$ und $10^{17}$. Dazu müsste man vielleicht noch sagen, dass die vorliegenden Tabellen jeweils noch keine klassische Zählfunktion (mit Betonung auf "funktion") sind, weil dann müsste es ja eine Näherungsformel geben, wo man ein beliebiges $n$ einsetzen kann (z. B. $10^{5}$ oder $27863$) und dann müsste man einen ungefähren Wert für die Anzahl Primzahl-$k$-Tupel bekommen. (Für $k=1$ gibt es ja bereits eine solche, aber ob auch für $k>1$, ist mir gerade nicht bekannt.) Aber je höher $k$ ist, desto schwieriger ist es, eine solche Formel aufzustellen, weil die Anzahl der Tupel wie gesagt ziemlich lange (fast) gleich bleibt für sehr viele verschiedene Werte $n$ und dann auf einmal wieder ansteigt. Theoretisch müsste das wohl eine Funktion sein, die irgendwie die Treppenfunktion mit polynomialen oder exponentiellen Elementen kombiniert. Auf alle Fälle ist Deine Übersicht ein schönes Nachschlagewerk - vielen Dank! LG Primentus


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pzktupel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-01 07:38

Hallo Primentus ! Ja stimmt, habe den Titel geändert. Heute wird das 3. Muster für 13-Tupel fertig. Dann ist auch dieses in der Anzahl bis 10^21 bekannt. Es gibt viel zu tun 🙂 Achso, wegen der Zählfunktion. Für Zwillinge hatte ich vor bald 20 Jahren mal einen Zusammenhang gefunden, ähnlich PI(X) Es gilt nämlich für Zwillinge ebenfalls: p teilt 2*(p-1)!+2 , wenn p=prim p+2 teilt 2*(p-1)!+1 , wenn p+2=prim Setzt man x=(p-1)! Könnte also gelten, wenn (p^2+2p) das 2x^2+3x+1 oder eben x(2x+3)+1 restlos teilt, dann sind p und p+2 Primzahlzwillinge. Bsp. 11 und 13 p^2+2p = 143 , X=3628800=10! Teilt 143 nun 2x^2+3x+1 ? -> 143 teilt 52672779532802 ? Ja! Gruß


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Primentus
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-01 21:56

Hallo pzktupel, ja, Deine Übersicht kann natürlich noch jederzeit erweitert werden, was aber einiges an Arbeit ist wie Du schon sagtest. Aber die jetzigen Zahlen sind auch schon sehr informativ. \quoteon(2021-10-01 07:38 - pzktupel in Beitrag No. 2) Setzt man x=(p-1)! Könnte also gelten, wenn (p^2+2p) das 2x^2+3x+1 oder eben x(2x+3)+1 restlos teilt, dann sind p und p+2 Primzahlzwillinge. \quoteoff Ja, da könnte was dran sein. Habe dies mal für alle $p$ von $1$ bis $100000$ überprüft. Das einzige Paar $(p,p+2)$, das die Teilbarkeitsbedingung erfüllt und trotzdem kein Primzahlzwilling ist, ist $(1,3)$ für $p=1$. Ansonsten ist jedes $(p,p+2)$ im genannten Bereich, das die Teilbarkeitsbedingung erfüllt, ein Primzahlzwilling. Den Fall $p=1$, kann man ja ausschließen, indem man sagt: $\forall p>1\in\IN:~~(2\cdot(p-1)!^{2} + 3\cdot(p-1)!+1)~\text{mod}~ (p^{2} + 2p)=0~~\Rightarrow~~p,p+2~\text{prim}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Primzahlzwilling)}$ Gibt es eine offizielle Quelle, wo man diesen Zusammenhang nachlesen kann oder ist es erstmal eine Vermutung? LG Primentus


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pzktupel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-01 22:04

Es gibt keine offizielle Quelle, weil ich im Prinzip der Urheber bin. Vielleicht ein Baustein im Beweis für Zwillinge....


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-01 22:36

Hallo pzktupel, ok - dann gratuliere ich Dir sehr herzlich, dass Du diesen Zusammenhang herausgefunden hast. Das ist auf jeden Fall sehr interessant. Ich denke auch, dass es ein sehr guter Baustein in Bezug auf Primzahlzwillinge sein kann. Mal sehen, ob jemand ein Gegenbeispiel finden kann - außer dem Fall $p=1$, den man wie gesagt leicht ausschließen kann. LG Primentus


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pzktupel
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-02 08:31

Das mit p=1 ist ja so nicht richtig, weil 1 keine Primzahl ist und weil jede Zahl durch 1 teilbar ist. Für die 1 gilt ja auch 1=prime bei dem Satz von Wilson 1 teilt 0!+1 ...oder man schliesst diese eben aus.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-02 15:01

Hallo pzktupel, zunächst stellt sich ja die Frage, ob ein beliebiges natürliches Zahlenpaar mit Abstand 2, also $(p,p+2)$ ein Primzahlzwilling ist. Wenn man dabei voraussetzen möchte, dass $p$ selbst schon eine Primzahl ist und nur noch unklar ist, ob $p+2$ eine Primzahl ist, dann hast Du natürlich recht. Aber eigentlich kann man ja nicht schon etwas voraussetzen, was man erst überprüfen möchte. Um zu sehen, ob Deine Vermutung stimmen könnte, wollte ich jedoch auch überprüfen, ob es nicht auch natürliche Zahlenpaare mit Abstand 2 gibt, auf die die Teilbarkeitsregel zutrifft, obwohl sie keinen Primzahlzwilling bilden. Und dabei kam bislang als einziges Paar $(1,3)$ heraus (wobei ich inzwischen alle Paare mit Abstand 2 bis $300000$ untersucht habe). Einen solchen Anfangsfall wie $(1,3)$ kann man natürlich problemlos ausschließen (also daran soll es nicht scheitern), aber sollte der Fall auftreten, dass die Vermutung bei verschiedensten weiteren Paaren, die irgendwo sporadisch auftreten, nicht stimmt, dann würde die Vermutung natürlich ins Wanken geraten. Bis jetzt deutet aber noch nichts darauf hin. Es ist also erstmal ein klassischer Fall von "ist bislang weder bewiesen, noch widerlegt". LG Primentus


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-02 15:14

Hallo Primentuns ! Ja, stimmt schon. Aber es wird so sein, dass es nie zu einem weiteren Fall kommen kann. Irgendwann hatte ich wohl mal zuhören bekommen, dass man den Fall 2(p-1)!+1 für Primzahl p+2 in eine Form 2(p-1)!+2 für Primzahl p umwandeln kann. Aber hier habe ich einfach die beiden als Produkt "zusammengeschnürt". Die Frage ist also, kann man aus der Gleichung für p oder p+2 eine Teiler ableiten. Nein, dass kann man eben nicht, und somit kann p und p+2 prim sein. Aber da hörts dann bei mir auch auf. 🙂


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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-02 16:22

Hallo pzktupel, hast Du Deine Vermutung aus dem Satz von Wilson heraus entwickelt oder? \quoteon(2021-10-02 08:31 - pzktupel in Beitrag No. 6) Für die 1 gilt ja auch 1=prime bei dem Satz von Wilson 1 teilt 0!+1 \quoteoff Hierzu wollte ich noch sagen, dass ich auch schon mal auf etwas gestoßen bin, was mich zum Nachdenken gebracht hat, ob man die 1 nicht auch zu den Primzahlen rechnen müsste. Es wäre dann allerdings so, dass das Sieb des Eratosthenes nicht mehr gelten würde. Um Primzahlen zu ermitteln, fängt man dort ja zuerst mit der 2 an, lässt sie stehen und streicht alle Vielfachen von 2 bis zu einer beliebigen Grenze. Dann stellt man fest, dass von der 2 ausgehend die nächste Zahl, die durch diesen Streichvorgang nicht betroffen war, die 3 ist. Dann fängt man an bei dieser 3, die stehen bleibt, alle Vielfachen von 3 zu streichen. Anschließend bemerkt man, dass die 5 die nächste Zahl ist, die durch die bisherigen Streichvorgänge noch nicht erfasst wurde und man macht dann mit der 5 weiter und streicht deren Vielfache, also sind 2, 3 und 5 schon mal Primzahlen - usw. Würde man die 1 als Primzahl zulassen wollen, müsste man beim Sieb des Eratosthenes mit der 1 beginnen, die man stehen lässt, und dann streicht man alle Vielfachen von 1. Dadurch werden jedoch alle weiteren natürlichen Zahlen nach der 1 gestrichen, da jede natürliche Zahl ein Vielfaches von 1 ist. Folglich wäre 1 die einzige Primzahl, die es gibt. Das würde so aber keinen Sinn machen, d. h. in dem Moment, wo man die 1 als Primzahl integrieren will, löscht man damit alle anderen Primzahlen aus und das Sieb des Eratosthenes wäre gar nicht mehr anwendbar. Damit hätte man nichts gewonnen. LG Primentus


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-02 16:49

@Primentus Nee, lieber die Eins nicht. Ich formulierte mal , was zum Widerspruch führte. Wäre 1 eine Primzahl,dann wäre es die einzige Primzahl.Jede andere Zahl hätte den Primteiler 1. Somit stünde im Widerspruch, das eine Zahl Primzahl ist und auch gleichzeitig wieder keine. Aber genau das, schriebst du ja eben in etwa selber.


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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-02 17:32

Hallo pzktupel, ja, so kann man es auch ausdrücken - dass dann die vermeintliche Primzahl 1 im Widerspruch zu sich selbst stünde. LG Primentus


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