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 Projektiver Raum |
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taurean116
Neu 
Dabei seit: 04.10.2021
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2021-10-04
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Hallo,ich habe eine Frage zur Definition des projektiven Raumes.
wir haben es wie folgt erarbeitet:
Sei $V$ ein d+1 - dimensionaler Vektorraum über $K$, dann definieren wir die folgende Äquivalenzrelation. Sei $v,w \in V$, dann heißen $v,w$ äquivalent, wenn $v=\lambda w$ mit $\lambda \in K$ ist. Dann sind die zugehörigen Äquivalenzklassen die Menge aller äquivalenten Vektoren.
Der projektive Raum $\mathbb{P}(V)$ ist dann $V / \sim $. Meine Frage, wie kann ich mir dieses Modulo vorstellen ich kenne es bis jetzt nur aus Algebra im Kontext der Division.Danke schonmal.
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FibreBundle
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Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 152
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-04
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Vielleicht hilft dir meine Vorstellung:
@projektiver Raum:
Stell dir die Geraden durch den Ursprung vor und behandle diese Geraden als Element einer neuen Menge.
Die neue Menge der Geraden ist dann der gesuchte Projektive Raum.
@$V/\sim$:
Die Äquivalenzrelation definiert eine Äquivalenzklasse $[v]:=\{v'| v \sim v' \}$. Die Menge der Klassen ist dann der Raum $\{[v]: v\in V\}=:V/\sim$.
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taurean116
Neu
Dabei seit: 04.10.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Triceratops
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-05
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\quoteon(2021-10-04 15:52 - taurean116 im Themenstart)
Sei $v,w \in V$, dann heißen $v,w$ äquivalent, wenn $v=\lambda w$ mit $\lambda \in K$ ist.
\quoteoff
Richtig wäre $\lambda \in K^{\times}$.
\quoteonDer projektive Raum $\mathbb{P}(V)$ ist dann $V / \sim $. Meine Frage, wie kann ich mir dieses Modulo vorstellen
\quoteoff
https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation#Quotientenmenge_und_Partition
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FibreBundle
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|  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-05
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Stimmt, die Null muss ausgeklammert werden: $\lambda\neq 0$.
Danke Triceratops!
Und auch der Nullvektor wird ausgeklammert $V\setminus \{0\}$. Man betrachtet dann den Raum $(V\setminus \{0\})/\sim$.
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-05
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\quoteon(2021-10-04 15:52 - taurean116 im Themenstart)
Der projektive Raum $\mathbb{P}(V)$ ist dann $V / \sim $. Meine Frage, wie kann ich mir dieses Modulo vorstellen ich kenne es bis jetzt nur aus Algebra im Kontext der Division.
\quoteoff
Hallo,
ich versuche es mal mit der "projektiven Ebene". Die Idee dabei ist, der normalen euklidischen Ebene (mit x- und y-Koordinaten) Punkte "im Unendlichen" hinzuzufügen.
Zunächst wird ein Punkt (x,y) durch eine weitere z-Koordinate erweitert. (x,y) in der euklidischen Ebene wird dann zu (x,y,1). Genausogut kann man (x,y) aber auch als (2x,2y,2) darstellen, da in der projektiven Ebene zwei Punkte \((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\) äquivalent sind, wenn sie Vielfache voneinander sind, d. h. dass es \(\lambda\neq0\) gibt, sodass \((x_1,y_1,z_1)=\lambda(x_2,y_2,z_2)\).
Andersrum entspricht ein Punkt der projektiven Ebene mit Darstellung (x,y,z) und \(z\neq0\) dem Punkt \((\frac xz,\frac yz)\) der euklidischen Ebene.
Beachte: (0,0,0) (bzw. seine Restklasse) soll per definitionem nicht zur projektiven Ebene gehören.
Was aber, wenn z = 0? Das sind genau die "Punkte im Unendlichen"!
Nimm nun etwa eine Gerade mit Gleichung y = mx + b in der euklidischen Ebene. Diese besteht aus allen Punkten (x,y) mit y = mx + b - oder in der projektiven Ebene aus allen Punkten (x,y,z) mit \(\frac yz=m\frac xz+b\) bzw. y = mx + bz und \(z\neq 0\).
Die Gleichung y = mx + bz besitzt jetzt aber zusätzlich die Lösungen \((\lambda m,\lambda,0)\) mit \(\lambda\neq 0\), also genau die Restklasse von (m,1,0). Die Gleichung besteht also aus den "herkömmlichen" Punkten plus einen Punkt im Unendlichen.
Nimm nun zwei parallele Gerade y = mx + b und y = mx + c mit \(b\neq c\). Beide Geraden besitzen in der projektiven Ebene den Punkt (m,1,0). Sie schneiden sich also im Unendlichen.
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