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  Kreissektor |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6436
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2021-10-06
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Hallo!
Ein Tortenstück in Form eines Kreissektors mit Radius r und Öffnungswinkel \alpha soll in 2 gleich große Teile geteilt werden. Möglichkeit 1 ist, entlang des Radius in der Mitte zu schneiden. Der Schnitt soll aber orthogonal zur Schnittlinie von Möglichkeit 1 erfolgen. In welcher Entfernung von der Spitze des Tortenstücks muss der Schnitt gemacht werden?
Ich komme da auf eine Gleichung, in der einerseits \alpha und andererseits tan(\alpha/2) auftreten. Das ist wohl eine Sackgasse.
Hat jemand eine bessere Idee?
Danke
Radix
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Aquilex
Aktiv 
Dabei seit: 05.12.2011
Mitteilungen: 103
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-06
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Das Segment hat \(A_{seg}=\pi r^2 \frac{\alpha}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\alpha\). Nach Teilung ist das innere Stück ein gleichschenkliges Dreieck mit bekanntem Öffnungswinkel \(\alpha\) und Flächeninhalt \(\frac{1}{4}r^2\alpha\), womit man dann dessen Höhe (als die gesuchte Schnittentfernung) berechnen kann.
(\(\alpha\) im Bogenmaß)
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6436
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-06
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gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4864
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-07
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Hallo zusammen,
Ok, man muss genau lesen, um nicht durcheinander zu kommen (was hier bis eben stand war quatsch)
Die Fläche des Dreiecks ergibt sich tatsächlich über Winkelfunktionen, wie schon im Startpost angedeutet. Alpha/2 bekommt man, indem man das gleichschenklige Dreieck in zwei Teile aufteilt, die dann rechtwinklige Dreiecke bilden, und der Tangens kommt ins Spiel, weil der gesuchte Abschnitt x auf dem Mittel-Radius des Tortenabschnitts die Ankathete bildet, und man aber die Gegenkathete sucht, damit man diese bei der Flächenberechnung als Höhe verwenden kann.
Der ursprüngliche Denkfehler, bzw. das im startpost gegebene problem, lässt sich dann auflösen, indem man zwar eine Gleichung "sowohl mit alpha also auch mit tan(alpha/2) bekommt", dass dies aber gar kein Problem darstellt. Man will ja alpha gar nicht berechnen, sondern es ist gegeben. Man hat nämlich r und alpha gegeben, und man sucht den Abschnitt x auf dem Radius, der die Mitte des Tortenstücks bildet.
Falls das nicht so ganz klar wird, könnte man natürlich noch einmal eine Skizze machen und die Gleichungen, die sich ergeben, anschreiben.
Grüße
Gerhard/Gonz
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2475
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-07
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Moin moin 😉
Sei der Öffungswinkel \(\alpha\) im Bogenmaß gegeben.
\(\Rightarrow\) \(A_{Tortensektor}\:=\:\pi\,\cdot\,r^2\,\cdot\,\frac{\alpha}{2\cdot\pi}\:=\:\frac{\alpha\,\cdot\,r^2}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(A_{Tortensektorspitzendreieck}\:=\:\frac{A_{Tortensektor}}{2}\:=\:\frac{\alpha\,\cdot\,r^2}{4}\)
Sei die Schnittlinie nach "Möglichkeit 1" gegeben.
Senkrecht zu ihr wird nach "Möglichkeit 2" geschnitten.
Die Schnittlinie nach "Möglichkeit 2" schneidet diejenige
nach "Möglichkeit 1" im Punkt \(S\), und die Entfernung
dieses Punktes zur Spitze des Tortenstücks, also zum
Tortenmittelpunkt heiße \(s\).
\(\Rightarrow\) \(s^2\,\cdot\,tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\:=\:\frac{\alpha\,\cdot\,r^2}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(s \:=\:r\,\cdot\,\sqrt{\frac{\alpha}{4\,\cdot\,tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}\:=\:\frac{r}{2}\,\cdot\,\sqrt{\frac{\alpha}{tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}\)
Beispiel
\(r\:=\:14\,cm\) \(\Rightarrow\) \(A_{Torte}\:=\:615,75216\,cm^2\)
\(12\) Tortenstücke \(\Rightarrow\) \(\alpha\:=\:30\,°\:=\:\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow\) \(A_{Tortenstück}\:=\:\frac{A_{Torte}}{12}\:=\:51,31268\,cm^2\)
\(\Rightarrow\) \(s \:=\:7\,cm\:\cdot\:\sqrt{\frac{\pi}{6\,\cdot\,tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}}\:=\:9,785232\,cm\)
Probe: \(s^2\:\cdot\:tan\left(\frac{\pi}{12}\right)\:=\:25,65634\,cm^2\) \(\Rightarrow\) passt!
EDIT
Oups... knifflig wird es tatsächlich für \(\alpha>108,60382159229°\),
weil da die Fläche des äußeren Kreissegmentes größer wird
als die halbe Sektorfläche... 🤔
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6436
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-07
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@gonz und @cramilu: Ja, genauso war es.
Danke an alle
Radix
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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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