Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Meromorphe Funktionen
Autor
Universität/Hochschule J Meromorphe Funktionen
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 201
Wohnort: Würzburg
  Themenstart: 2021-10-10

Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe: Seien f und g meromorph auf \ID, sodass f!==0 auf \ID, g nur endlich viele Polstellen in \ID besitzt und für jedes z\el\ \ID \\ (\rho_f \union\ \rho_g ) gilt f'(z)=f(z)*g(z). (Dabei ist \rho_f die Menge der Polstellen von f und für g analog) Zeige: a) f hat in \ID nur endlich viele Null- und Polstellen b) N_f - P_f =sum(res(z,g),z\el\ \ID,). Dabei ist N_f die Anzahl der Nullstellen mit Vielfachheiten von f und P_f die Anzahl der Polstellen mit Vielfachheiten von f. Mein Gedanke war hier mit dem Argumentprinzip zu arbeiten, aber ich bin mir noch nicht ganz sicher ob man das hier anwenden darf, d.h. ob die Voraussetzungen dafür erfüllt sind. Und auch wenn man es anwenden darf, weiß ich nicht wie es weiter geht. Vielleicht kann mir jemand helfen. Vielen Dank schon einmal!


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 201
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-11

Also meine Idee für a) wäre, dass nach Definition von einer meromorphen Funktion die Polstellen isoliert (hier im Einheitskreis) liegen müssen und demnach kein Häufungspunkt sein können. Hiernach kann es aber immer noch abzählbar unendlich viele Polstellen geben. Hier komme ich nicht weiter und weiß auch nicht, welche Aussage man zu den Nullstellen von f treffen kann. Zu b) würde ich das Argumentprinzip für f anwenden. Dort würde ich die Gleichung f'(z)=f(z)g(z) einsetzen (hier erschließt sich mir aber noch nicht, warum man das einfach einsetzen darf, denn die Gleichung gilt ja nicht auf den Polstellen). Dann kürzt sich das f weg und es bleibt g(z) im Integral beim Argumentprinzip stehen: 1/(2\pi*i)*int(g(z),z,\Gamma,) Hier ist mir auch noch etwas unklar welchen Zykel ich verwenden muss, da ja f und g nur im Einheitskreis meromorph sind. Der Zykel jedoch im Einheitskreis liegen muss als Voraussetzung des Argumentprinzips. Danach könnte man den Residuensatz anwenden für g und müsste dann noch die Windungszahl rauskriegen, wo ich auch auf dem Schlauch stehe. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. Danke schon mal!


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 201
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15

Also ich habs jetzt so gemacht: Man kann schnell zeigen, dass wenn f in w\el\ \ID eine Nullstelle der Ordnung m hat, dann hat dort g eine Polstelle. Damit sieht man dann, dass f nur endlich viele Nullstellen hat. Dann kann man dies in der b) verwenden und mit der b) gleichzeitig noch den fehlenden Teil von a) zeigen: Man wendet hierfür das Argumentprinzip auf eine Umgebung U_r(0) an, die in D liegt und alle Polstellen von g und alle Nullstellen von f im Inneren hat. Da g nur endlich viele Polstellen hat, existiert diese Umgebung. Mit der Differentialgleichung aus der Voraussetzung und dem Residuensatz kann man dann zeigen, dass das Integral des Argumentprinzips gleich der Summe über alle z in U_r(0) ist, über die Residuen von g (diese sind nur ungleich 0 bei den Polstellen von g). Da alle Polstellen schon in U_r(0) liegen entspricht dies auch der Summe über alle z in D. Die Summe ist dann eine ganze Zahl und somit konstant. Sei diese ganze Zahl c. Dann steht da N_f + P_fr = c => P_fr = c - N_f. Die rechte Seite der Gleichung ist unabhängig von r, d.h. P_fr=P_f und damit ist b) gezeigt und man weiß, dass f auch nur endlich viele Polstellen haben kann.


   Profil
nitram999 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]