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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion mit Polstelle
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Universität/Hochschule J Holomorphe Funktion mit Polstelle
nitram999
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  Themenstart: 2021-10-13 11:02

Hallo ich habe eine Frage, Wenn f eine holomorphe Funktion ist, z.B. in \ID \\{0} und f in Null eine einfache Polstelle hat. Kann man dann sagen, dass f lokal injektiv ist? D.h. dass eine Umgebung um 0 existiert im Einheitskreis, in der f injektiv ist. Wenn ja, warum gilt das? Vielen Dank schon einmal!


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Sismet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-13 15:18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) Hey, schau dir die Funktion $1/f$ in einer geeigneten Umgebung um die 0 an und zeige das diese injektiv ist. Grüße Sismet\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 16:13

Danke für die Antwort Sismet, wir haben sogar einen Satz behandelt, der zeigt, dass, wenn f eine Polstelle in 0 der Ordnung 1 hat, dass dann eine Umgebung um 0 existiert sodass 1/f holomorph fortsetzbar auf diese Umgebung ist. Bringt mir das was? Wie zeige ich aber, dass 1/f dort inkektiv ist? Ich hatte auch folgenden Gedanken: Wenn f in 0 eine einfache Polstelle hat, dann gilt lim(z->0,abs(f(z)))=\inf Damit müsste ein r>0 (und r<1) existieren sodass für ein z in U_r (0) gilt f'(z)!=0 (oder?). Dadurch folgt aus einem Satz im Skript, da f holomorph in U_r (0) ist und f'(z)!=0 für alle z in U_r (0), dass f lokal injektiv ist für alle z \el U_r(0). Hier der Satz: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51196_Bild.JPG Stimmt meine Überlegung auch?


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Sismet
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-13 17:53

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) Naja du möchtest eine Umgebung um die $0$ finden in der $f$ injektiv ist. In dem Satz den du verwenden willst wird aber nur eine Aussage für Punkte innerhalb des Gebietes getroffen. $0$ liegt aber nicht in dem von dir betrachteten Gebiet. Den Satz kannst du auf meinen Ansatz anwenden: Betrachte $1/f$ und setzte diese Funktion dann holomorph in der $0$ fort. Nenne diese Funktion dann z.B. $g$. Es gilt dann $g(0)=0$ und $g$ ist in einem geeigneten Gebiet um die $0$ holomorph mit einfacher Nullstelle in der $0$. D.h. $g'(0)\neq 0$ und jetzt verwendest du den Satz. Grüße Sismet [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Holomorphie' von Sismet]\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 20:13

Ah stimmt, danke! Hab noch 2 kleine Fragen dazu: Wenn man 1/f holomorph fortsetzt in der Null wird 1/f ja zu einer holomorphen Funktion auf einer Umgebung U_r(0). Dieses r kann dann im Allgemeinen kleiner als 1 sein oder? (Also wenn f ursprünglich im Einheitskreis ohne Null holomorph war) Und wenn man dann gezeigt hat, dass 1/f in der Null lokal injektiv ist. Meint man hierzu ja auch eine Umgebung U_s(0). Im Allgemeinen ist s


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Sismet
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-14 01:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) Genau; Das $r$ wird durch den kleinsten Abstand zwischen der $0$ und einer Nullstelle von $f$ beschränkt. Und das $s$ wird durch das $r$ beschränkt also es gilt: $0 < s\leq r\leq 1$.\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14 13:39

Okay vielen Dank!


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nitram999
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14 22:48

Ich habe doch noch eine Frage, und zwar weiß man am Ende des Beweises ja, dass g lokal injektiv ist. g war ja die holomorphe Fortsetzung von 1/f. Woher weiß man dann genau, dass auch f in einer Umgebung um 0 lokal injektiv ist?


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Wauzi
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-14 23:03

Hallo, f(z_1)=f(z_2)=>1/f(z_1)=1/f(z_2) Probleme mit Nullstellen gibt es ja nicht Gruß Wauzi


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nitram999
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14 23:22

Hier ist nochmal der ganze Beweis: Da f in 0 eine einfache Polstelle hat, existiert ein \epsilon mit 0<\epsilon<=1 sodass 1/f holomorph auf U_\epsilon (0) fortsetzbar ist und in 0 eine Nullstelle der Ordnung 1 hat. Wir bezeichnen die holomorphe Fortsetzung mit g. Dann ist für alle z\el\ U_\epsilon (0) folgendes erfüllt: 1/f(z) = z*h(z) =:g(z) mit einer auf U_\epsilon (0) holomorphen Funktion h und h(0)!=0. Da g in 0 eine einfache Nullstelle hat, folgt dass g'(0) != 0 ist. Mit dem Satz 5.22 (siehe Beitrag Nr. 2) folgt dann, dass g lokal in 0 injektiv ist. Das heißt es existiert ein \delta mit 0<\delta<=\epsilon<=1 sodass g auf U_\delta (0) injektiv ist. Damit ist auch f in U_\delta (0) injektiv und die Behauptung ist bewiesen. Stimmt das so? Die Polstelle in 0 macht beim letzten Schritt, wo ich schließe, dass f injektiv in der Delta-Umgebung von 0 ist, keine Probleme?


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Wauzi
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-14 23:31

Die Polstelle spielt für die Injektivität von f keine Rolle, da f hier nicht definiert ist. Und außerhalb gibt es in der genügend kleinen Umgebung keine Nullstellen, weder von f noch von 1/f. Also ist Injektivität von f gleichbedeutend mit der von 1/f (Den Beweis habe ich nicht durchgesehen, ist ein bißchen spät dafür...)


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nitram999
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14 23:42

Danke Wauzi! Vielleicht kannst du morgen einmal drüber schauen, oder jemand anderes :) Viele Grüße nitram999


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