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Mathematik » Analysis » Herleitung der Reduktionsformel bei Integration rationaler Funktionen
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Kein bestimmter Bereich J Herleitung der Reduktionsformel bei Integration rationaler Funktionen
rational
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  Themenstart: 2021-10-13 20:38

Hallo, bin in meinem Analysisbuch auf eine Formel gestoßen wo nur angemerkt ist, daß diese durch partielle Integration hergeleitet werden kann. Die Herleitung steht jedoch nicht drin und so habe ich es mal selbst versucht, komme jedoch einfach nicht auf die Lösung. Es geht sich um das folgende Integral: \int(1/(x^2+\beta*x+\gamma)^s,x)=1/((s-1)*(4*\gamma-\beta^2))*(2*x+\beta)/(x^2+\beta*x+\gamma)^(s-1)+(2*(2*s-3))/((s-1)*(4*\gamma-\beta^2))*int(1/(x^2+\beta*x+\gamma)^(s-1),x) für s>1. ich habe verschiedene Substitutionen versucht. Das ähnlichste Ergebnis erhielt ich mit folgenden zweien: \ y=(x+b)/a wo b=\beta/2 und a=sqrt(\gamma-\beta^2/4) und dann z=y^2+1 die Reduktionsformel ergibt sich daraus aber nicht. Geht die Lösung über Substitution oder anders? Und wie sieht die Lösung aus bzw. welche Substitutionen muß ich machen um die Reduktionsformel zu erhalten? Gerne auch ein Link, das spart Schreibarbeit (konnte leider keinen Link finden). Gruß


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-13 20:59

Hallo rational, du sagst doch selbst, dass in deinem Buch steht, die Formel lasse sich mit partieller Integration herleiten. Warum versuchst du es dann nicht erstmal damit, statt mit Substitution? Viele Grüße Vercassivelaunos


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rational
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 21:02

habe ich. Ich sehe nur nicht wie ich die Funktion aufsplitten kann um passende f und g zu erhalten.


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Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-13 21:07

Hallo Rechne mal vor, was du mit partieller Integration probiert hast? Gruß Caban


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rational
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 21:23

hier hab mal ein Foto von einer meiner Berechnungen gemacht. Am Ende steht jedoch das x+b im Nenner, in der Reduktionsformel im Zähler. Daher habe ich da schon gesehen, daß es nicht zum Ziel führt.


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Caban
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-13 21:55

Hallo Das Foto zeigt deinen Versuch der Substitution, aber was hast du nei der partiellen Integration gerechnet. Gruß Caban


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-13 22:03

Huhu rational, anderer Vorschlag: \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^{ n-1}}\) Wir differenzieren: \(\displaystyle f'(x)=\frac{2}{(x^2+bx+c)^{ n-1}}+\frac{(1-n)(b+2x)^2}{(x^2+bx+c)^{ n}}=\frac{2}{(x^2+bx+c)^{ n-1}}+\frac{(1-n)(4x^2+4xb+4c-4c+b^2)}{(x^2+bx+c)^{ n}}=\frac{2}{(x^2+bx+c)^{ n-1}}+\frac{4(1-n)(x^2+bx+c)+(1-n)(-4c+b^2)}{(x^2+bx+c)^{ n}}=\frac{2}{(x^2+bx+c)^{ n-1}}+\frac{4(1-n)(x^2+bx+c)+(1-n)(-4c+b^2)}{(x^2+bx+c)^{ n}}\) Wir integrieren: \(\displaystyle f(x)=2I_{n-1}+4(1-n)I_{n-1}+(1-n)(-4c+b^2)I_n\) Wir lösen nach \(I_n\) auf. Naja - das kannst du ja auch. Schau mal, ob das richtige Ergebnis rauskommt. Ich habe es nur eben auf einen Zettel geschmiert - Rechenfehler sind also nicht auszuschließen. Ich habe aus Gewohnheit \(s=n\), \(\beta=b\) und \(\gamma=c\) gesetzt. Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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rational
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 22:09

@Caban, ja, ich habe erst substituiert und dann die partielle Integration angefangen (4. letzte Zeile zu 3. letzte Zeile), dann aber gesehen, daß es nicht zielführend war. @Kuestenkind, interessanter Ansatz, versuche ich mal. Brauche aber ws. was länger, bin nicht so geübt darin :) melde mich dann wieder zurück wenn ich was hab. Grüße


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rational
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13 23:06

@Kuestenkind, ist ja genial! kommt alles hin, da wäre ich so schnell nicht drauf gekommen (wenn überhaupt!). Also der Trick war, du hast f(x) wie angegeben "postuliert", dann differenziert und bei dieser Gelegenheit so umgeformt, daß sich durch Integration genau die gewünschte Reduktionsformel ergibt. Ohne überhaupt eine Integration durchgeführt zu haben. hier meine Rechnung: hier danke! bist du da so schnell selbst drauf gekommen oder kam dir das noch bekannt vor?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-14 11:11

Huhu rational, \quoteon(2021-10-13 23:06 - rational in Beitrag No. 8) kommt alles hin, [...] \quoteoff Gott sei Dank! Der eigentliche Trick war mal wieder nichts zu tun bzw. eine geschickte Null einzufügen. Der Rest ergab sich dann von selbst. Auch wenn du abgehakt hast, wäre es doch schön, wenn wir hier die "Buchlösung" über partielle Integration auch noch hinbekommen. Ich habe es selbst noch nicht probiert, werde mich heute aber bestimmt auch nochmal dransetzen. Vll hat ja jemand anderes auch noch einen Hinweis. Gruß, Küstenkind edit: Ein Anfang wäre wohl: \(\displaystyle I_n=\int \frac{\dd x}{(x^2+bx+c)^n}=\int \frac{\dd x}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\underbrace{-\frac{b^2}{4}+c}_{=:u}\right)^n}\) und somit: \(\displaystyle I_n=\frac{1}{u}\int \frac{u+\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(x+\frac{b}{2}\right)^2}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^n} \, \dd x=\frac{1}{u}\left(\int \frac{u+\left(x+\frac{b}{2}\right)^2}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^n}\, \dd x-\int \left(x+\frac{b}{2}\right) \frac{\left(x+\frac{b}{2}\right)}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^n}\, \dd x \right)\) Wenn du Lust hast, kannst du dieses ja noch zu Ende bringen.


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rational
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14 23:43

ja, ich hatte es schon abgehakt. Ich dachte erst deine Lösung wäre bereits die im Buch angesprochene "partielle" Integration wobei die den Begriff dann allerdings nicht ganz definitionsgemäß verwendet hätten. gut, ich schau mir noch deinen zweiten Lösungsweg an und vielleicht bekomme ich die Rechnung hin. Natürlich kann jemand anders schon seine Lösung posten. Ich gucke dann nach wenn ich's (aufgegeben) hab 😄


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rational
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15 16:44

Hallo Küstenkind, hattest du es selbst schon ausgerechnet? Ich hab's versucht, bis jetzt komme ich da nicht weiter. Hab wieder mit der Substitution y=(x+b)/2 gearbeitet, dann Partialbruchzerlegung, kam dann aber ein (ws.) nicht weiter vereinfachbarer Logarithmus raus. Dabei hatte ich die beiden Summanden der Partialbruchzerlegung als f' und den Rest als g angenommen. Hab auch nochmal versucht aus deiner ersten Lösungsmethode ein f' und g raus zu bekommen, auch nichts brauchbares erhalten. Also du kannst gerne die Rechnung fortführen. Ansonsten bin ich aber auch absolut mit deiner 1. Lösungsmethode zufrieden, die ja sehr elegant ist. Gruß


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Kuestenkind
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-16 11:25

Huhu rational, wieso kommst du nun wieder mit Substitution und Partialbruchzerlegung? Das erste Integral ist nach Kürzen wieder einfach \(I_{n-1}\), das zweite Integral denn partiell - ich habe doch auch schon extra die beiden Faktoren hingeschrieben. Offensichtlich wählen wir \(f'=\frac{\left(x+\frac{b}{2}\right)}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^n}\) und \(g=\left(x+\frac{b}{2}\right)\). Es ergibt sich denn: \(\displaystyle I_n=\frac{1}{u}I_{n-1}-\frac{1}{u}\left(\frac{x+\frac{b}{2}}{2(1-n)\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}\right)\) Gruß, Küstenkind


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rational
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16 13:16

hab ws. grade Tomaten auf den Augen. Ja, ich hatte f' und g so gewählt wie du sagst und links auch gekürzt. Aber irgendwie sehe ich grade nicht wie ich f' ohne Substitution integriere. Setze mich heute Abend noch mal ran. Gruß


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Kuestenkind
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-16 13:51

Gut - wenn es dir hilft kannst du natürlich dort substituieren. Im Zähler steht ja bis auf einen Faktor 2 die innere Ableitung des Nenners. Es ist somit einfach \(\int \frac{\left(x+\frac{b}{2}\right)}{\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^n} \, \dd x=\frac{1}{2(1-n)\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^{n-1}}\), was wie gesagt einfach daraus folgt, dass \(\left(\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^{-n+1}\right)'=(-n+1)\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^{-n}\cdot 2\left(x+\frac{b}{2}\right)\) nach Kettenregel ist. Die Stammfunktion hatte ich natürlich auch schon dort hingeschrieben: \(\displaystyle I_n=\frac{1}{u}I_{n-1}-\frac{1}{u}\left(\frac{x+\frac{b}{2}}{\color{red}{2(1-n)\left(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+u\right)^{n-1}}}+\frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}\right)\) Gruß, Küstenkind


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rational
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16 14:15

okay, danke für die Erklärung. Wie gesagt, Tomaten auf den Augen😁


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rational hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
rational hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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