Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Bedingten Erwartungswert berechnen
Autor
Universität/Hochschule J Bedingten Erwartungswert berechnen
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 357
  Themenstart: 2021-10-15

Hallo an alle, ich habe leider überhaupt nicht die sprichwörtliche Erleuchtung in der Vorlesung gehabt, wie man mit einem bedingten Erfahrungswert umgeht, wenn man ihn berechnen will. Und nun steh ich vor einer Übungsaufgabe und wende mich hier bitte um Hilfe: Sei X eine exponentiell verteilte Zufallsvariable mit Parameter \lambda=1 und sei Y eine Zufallsvariable, die den ganzzahligen Teil von X darstelle. Bestimme E(X|Y) und E(Y|X) als Funktionen in g(Y) und h(X). Kann mir jemand bitte erklären, wie man das angehen kann? Wir haben einen Satz in der VO gemacht, der wie folgt lautet: Annahme Sei X=h(Y,Z) und X F-messbar, wo Y F-messbar ist mit Werten in (E_1,\epsilon_1) und Z eine Zufallsvariable unabhängig von der Sigma-Algebra F mit Werten in (E_2,\epsilon_2) und h: E_1\cross\ E_2 -> \IR ist an \epsilon_1\otimes\ \epsilon_2-messbare reellwertige Funktion mit E(h(Y,Z))<\inf. Dann gilt E(h(Y,Z)|F)=H(Y) P fast sicher, wo H:E_1->\IR die \epsilon_1-messbare Funktion definiert durch H(y)=E(h(y,Z)) darstellt. Kann ich den Satz da einfach so ohne weiteres anwenden? Dankbar für jede Hilfe, Mathsman.


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 257
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15

Moin Mathsman, offenbar ist $Y = \lfloor X \rfloor$ und nimmt Werte in $\mathbb{N}$ (was hier die $0$ enthält) an. Du kannst dann so vorgehen: (i) Für $\mathbb{E}(X|Y)$: Wähle zunächst $y \in \mathbb{N}$ beliebig. Bestimme dann die Verteilung von $X|Y = y$. Du wirst feststellen, dass diese stetig ist. Bezeichnen wir die Dichte mit $f_{X|Y}(x|y)$, so gilt dann \[g(y) := \mathbb{E}(X|y) = \int_{\mathbb{R}} x f_{X|Y}(x|y) \, d\lambda(x).\] Die bedingte Erwartung ist schließlich $\mathbb{E}(X|Y) = g(Y)$. (ii) Für $\mathbb{E}(Y|X)$: Da $Y$ offensichtlich $\sigma(X)$-messbar ist, gilt (ganz allgemein) $\mathbb{E}(Y|X) = Y = h(X)$. Die Funktion $h$ entnimmst du direkt der Definition von $Y$. LG, semasch


   Profil
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 357
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Hallo semasch, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Das ii.) versteh ich jetzt. Beim ersten hab ich noch so meine Probleme: Wir haben in der Vorlesung, die bedingte Dichte f_(X bedingt Y)(x bedingt y) definiert als die gemeinsame Dichte von X und Y durch die Randdichte. Mein Problem beginnt damit, dass ich nicht weiß, wie ich die gemeinsame Dichte von (X,Y) ausrechnen soll. Multiplizieren geht ja nur bei unabhängigen Variablen und das sind X und Y in dem Beispiel ganz sicher nicht. Wo hab ich da einen Denkfehler? Mit freundlichen Grüßen, Mathsman


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 257
Wohnort: Wien
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-16

Bestimme zunächst für $y \in \mathbb{N}$ und $x \in \mathbb{R}$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \le x, Y = y)$ in der Form \[P(X \le x, Y = y) = \int_{(-\infty,x]} g(x',y) \, d\lambda(x')\] mit einer geeignet gewählten Funktion $g$. Dann ist \[f_{X|Y}(x|y) = \frac{g(x,y)}{P(Y = y)}.\] LG, semasch


   Profil
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 357
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Hi semasch, tut mir leid, aber das mit geeignet gewählten g verwirrt mich noch mehr. Wahrscheinlich ist es gut, einmal als einen Teil die Dichte einer exponentialverteilten Zufallsvariable ($\lambda=1$) einzusetzen. Und für den Y-Teil: Die Dichtefunktion der ZV Y ist ja 1 für x=0 und sonst 0. Soll ich da jetzt einfach die Kombination von $e^{-x}$ und einer Indikatorfunktion einsetzen? Ich bin total verwirrt. LG Mathsman


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 257
Wohnort: Wien
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-16

\quoteon(2021-10-16 17:53 - Mathsman in Beitrag No. 4) Die Dichtefunktion der ZV Y ist ja 1 für x=0 und sonst 0. \quoteoff $Y$ ist eine diskrete und keine stetige Zufallsvariable, demnach macht es hier auch keinen Sinn, von einer Dichte zu reden. Weiters nimmt $Y$ nicht nur den Wert $0$, sondern den Wert $y \in \mathbb{N}$ genau für $X \in [y, y+1)$ an. Um die vormals erwähnte Wahrscheinlichkeit wie beschrieben zu bestimmen, verwende, dass demnach \[[X \le x, Y = y] = [X \in (-\infty,x] \cap [y,y+1)]\] gilt und setze die Dichte von $X$ geeignet ein. LG, semasch


   Profil
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 357
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Nachdem mich die Verzweiflung zwischendurch schon umgetrieben hat, hab ich schlussendlich glaub ich doch verstanden worauf du hinaus willst. Also: Berechne $\mathbb{P}(X\in(-\infty,x)\cap[y,y+1))$. Da verwendet man einfach die normale Wahrscheinlichkeit für X nur, dass das Integral über einem kleineren Bereich genommen wird. Die kann man aber durch das Setzen der Indikatorfunktion rückgängig machen. Demnach ist meiner Meinung nach das folgende geltend: $g(x,y)=f_x(x)*1(x)_{[y,y+1)}$ Und $\mathbb{P}(Y=y) = \mathbb{P}(X\in[y,y+1))$ und auch da setze ich dann in die normale Definition mit der Dichtefunktion von X ein und erhalte: $(1-1/e)*e^{-y}$ Das setz ich nun ein. Ist das okay so oder bin ich wieder am Holzweg? LG Mathsman


   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 257
Wohnort: Wien
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-16

Ja, genau so ist das richtig. Btw. ist mir gerade aufgefallen, dass ich sowohl in Beitrag #1 wie auch #3 eine Funktion mit dem Namen $g$ eingeführt habe. Diese Funktionen sind natürlich verschieden, da hätte man verschiedene Namen nehmen sollen. Es scheint bei dir zwar eh keine Verwirrung ausgelöst zu haben, aber ich wollte es zur Sicherheit nur nochmal klarstellen. LG, semasch


   Profil
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 357
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Gut, dann danke ich für die Hilfe hier. LG Mathsman


   Profil
Mathsman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathsman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Mathsman wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]