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  Graph einer Kurve |
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Math_user
Aktiv 
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 638
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2021-10-15
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Abend zusammen,
Ich stecke bei gerade in der Differentialgeometrie fest und komme hier nicht weiter, beziehungsweise brauche ein wenig Hilfe:
Sei $c: [0,1] \to \Bbb R^n$ eine glatte Funktion. Ich möchte zeigen, dass die Menge
$$A=\{(x,y) \in \Bbb R^2 \;|\; x = c(y),\, y \in [0,1]\}$$
das Bild einer injektiven und regulären Kurve ist.
Mein Ansatz:
Da nun $[0,1]$ kompakt ist und $c$ glatt ist, also insbesondere stetig, folgt, dass $c$ injektiv ist. FALSCH, geht gar nicht, da $c$ nicht unbedingt streng monoton ist... Aber gehe ich dann vor?
Für die Regularität betrachten wir folgendes:
Definition: Eine Kurve $c: I \to \Bbb R^n$ heisst regulär, wenn für alle $t \in I$ gilt, dass $c'(t)\neq 0$.
Nun folgt aber, da $c$ glatt ist, dass seine Ableitung definiert ist und somit:
$$c'(t)=(c'(t),1) \neq (0,0)$$
Stimmen diese "einfache" Überlegungen oder übersehe ich etwas?
Gute Nacht,
Math_user
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easymathematics
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 30.12.2020
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15
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Schönen Abend :)
sei so lieb und gib bitte die komplette Aufgabenstellung hier an.
Du fängst mit "Sei c eine glatte Funktion" an.
Du gibst eine Menge A an und sprichst von "Bild einer Kurve". Welche Kurve?
Ferner taucht ein f auf.
Von f sind keine Eigenschaften bekannt.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen c und f?
Und redest von "Zeige Injektivität", redest im Beweis aber von "Stetigkeit".
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Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15
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Vielen Dank easymathematics
Für deine Antwort. Tut mir leid, bin gewohnt für Funktion $f$ zu verwenden... Ich habe meinen Post korrigiert... Aber ich stecke schon bei der Injektivität fest, wie kann man diese zeigen? Habe festgestellt, dass $c$ nicht unbedingt strickt monoton ist und somit mein Argument gar nicht funktioniert...
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4965
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-16
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\quoteon(2021-10-15 23:53 - Math_user in Beitrag No. 2)
Ich habe meinen Post korrigiert...
\quoteoff
Du hast ihn verschlimmbessert, indem du jetzt zwei unterschiedliche Dinge mit $c$ bezeichnest:
1. Die Funktion $[0,1]\to\mathbb R$, deren Graph $A$ ist.
2. Die Kurve $[0,1]\to\mathbb R^2$, deren Bild $A$ ist.
\quoteon(2021-10-15 23:53 - Math_user in Beitrag No. 2)
Habe festgestellt, dass $c$ nicht unbedingt strickt monoton ist und somit mein Argument gar nicht funktioniert...
\quoteoff
Das ist nur eine Folge der Bezeichnungsverwirrung. Injektiv muss die Kurve sein, nicht die Funktion.
--zippy
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Math_user
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Vielen Dank zippy für den Hinweis. Es sollte natürlich letzteres sein - das Bild der Kurve.... Jedoch stecke ich immer noch bei der Injektivität fest. Hast du mir einen Anhaltspunkt?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4965
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-16
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\quoteon(2021-10-16 01:08 - Math_user in Beitrag No. 4)
Jedoch stecke ich immer noch bei der Injektivität fest. Hast du mir einen Anhaltspunkt?
\quoteoff
Ich nenne die Funktion mal $f$ und die Kurve $c$.
Es ist $c(y)=\bigl(f(y),y\bigr)$. Aus $c(y_1)=c(y_2)$ bzw. $\bigl(f(y_1),y_1\bigr)=\bigl(f(y_2),y_2\bigr)$ folgt $y_1=y_2$. Also ist $c$ injektiv.
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Math_user
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17
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Hallo zippy,
Entschuldige antworte ich so spät. Viele Dank für die Ausführung - keine Ahnung, weshalb ich dies nicht sofort sah...
Ich wünsche dir einen erholsamen Sonntag.
Math_user
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Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Math_user hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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