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Mathematik » Analysis » Normierter Raum
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Universität/Hochschule J Normierter Raum
LamyOriginal
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  Themenstart: 2021-10-19

Hallo, ich soll zeigen, dass $(l^2, ||.||_{l^{\infty}})$ ein normierter Raum ist, wobei $l^2:=\{x\in \mathbb{R^{\mathbb{N}}}: \sqrt{\sum_{k\in\mathbb{N}}|x_k|^2}<\infty\}$ der Folgenraum und $||x||_{l^{\infty}}:=sup_{k\in \mathbb{N}}|x_k|$ ist. Ich weiß, dass $l^2$ mit einer anderen Norm ein normierter Raum ist und dass $l^{\infty}$ mit dieser Norm ein normierter Raum ist, aber wie mache ich das hier? Hier müssen ja die drei Normaxiome von $||.||_{l^{\infty}}$ für alle $x\in l^2$ gelten, aber es gilt doch: $x\in l^2 \Rightarrow \sqrt{\sum_{k\in\mathbb{N}}{|x_k|^2}}<\infty \Rightarrow |x_k|<\infty \forall k\in\mathbb{N}\Rightarrow sup_{k\in \mathbb{N}}|x_k| < \infty$, also die Bedingung an den Raum $l^{\infty}$, oder? Die ersten beiden Axiome zeigen sich eigentlich relativ leicht durch die Betragseigenschaft, aber mich verwirrt, dass ich hier ja $x\in l^2$ betrachte... Würde mich über Hilfe freuen!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Die Folgerung $|x_k|<\infty \ \forall k\in\mathbb N \Rightarrow \sup |x_k| <\infty$ ist natürlich nicht korrekt. Würde das stimmen wäre ja jede reelle Folge beschränkt. LG Nico\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

Danke für deine Hilfe und die Klarstellung. Wie zeige ich dann, dass $(l^2, ||.||_{l^{\infty}})$ ein normierter Raum ist? Würde mich über Tipps freuen!


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capstrovor
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-19

Du musst ja zeigen, dass für \(x,y\in l^2:\) 1. \(||x||_{l^\infty} = 0 \implies x = 0 \in l^2\), 2. \(||\lambda x||_{l^\infty} = \lambda ||x||_{l^\infty}\) und 3. \(||x+y||_{l^\infty} \leq ||x||_{l^\infty} + ||y||_{l^\infty}\) Ich denke mal du konntest 1. und 2. zeigen, aber es fehlt noch 3.? Das folgt eigentlich sofort aus den Eigenschaften des Supremums und des Betrags. Frag nochmal genauer nach falls etwas unklar ist Ich verstehe deine Verwirrung nicht so ganz. Natürlich ist \(||x||_{l^\infty} < \infty\) für \(x\in l^2\), da die Elemente von \(x\) eine absolut konvergente Reihe bilden und daher die Folge \(x_k\) beschränkt sein muss. LG [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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LamyOriginal
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 12:12 - capstrovor in Beitrag No. 3) Ich denke mal du konntest 1. und 2. zeigen, aber es fehlt noch 3.? Das folgt eigentlich sofort aus den Eigenschaften des Supremums und des Betrags. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Okay und danke für die Hilfe. Also ich habe die Definition eingesetzt und erhalte: $||x+y||_{l^{\infty}} = sup_{k\in\mathbb{N}}(|x_k+y_k|) \overset{(1)}{\leq} sup_{k\in\mathbb{N}}(|x_k|+|y_k|) \overset{(2)}{\leq} sup_{k\in\mathbb{N}}(|x_k|) + sup_{k\in\mathbb{N}}(|y_k|) = ||x||_{l^{\infty}}+||y||_{l^{\infty}}$ mit $(1)$ Dreiecksungleichung für Beträge und $(2)$ gilt ja nach den Eigenschaften des Supremum (haben wir auch glaube mal im ersten Semester gezeigt), oder? Meine Frage ist halt, wo genau wir $x \in l^2$ verwenden, der Beweis geht so doch auch für den Raum $(l^{\infty},||.||_{l^{\infty}})$, oder denke ich gerade falsch? Danke im Voraus.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, natürlich geht das genau gleich für $\ell^\infty$. Man verwendet $x\in \ell^2$ eigentlich nur um zu wissen, dass $x$ beschränkt ist. LG Nico\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 12:27 - nzimme10 in Beitrag No. 5) natürlich geht das genau gleich für $\ell^\infty$. Man verwendet $x\in \ell^2$ eigentlich nur um zu wissen, dass $x$ beschränkt ist. \quoteoff Oh achso okay, also geht der Beweis der dritten Normeigenschaft ($\Delta$-Ungl.) wie in meinem vorherigen Beitrag?


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ja das kann man so machen (bis auf das $\sup_{x\in\mathbb N}$, das ergibt so keinen Sinn). Im Prinzip reicht es auch zu bemerken, dass $\ell^2$ ein Untervektorraum von $\ell^\infty$ ist, wenn man schon weiß, dass $(\ell^\infty, \lVert \cdot\rVert_{\ell^\infty})$ ein normierter Raum ist. LG Nico\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 12:32 - nzimme10 in Beitrag No. 7) ja das kann man so machen (bis auf das $\sup_{x\in\mathbb N}$, das ergibt so keinen Sinn). \quoteoff Vielen Dank für eure Hilfe! Und stimmt, danke für den Hinweis, sollte $k\in \mathbb{N}$ heißen


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