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Analysis » Funktionentheorie » Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen
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Universität/Hochschule J Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen
nitram999
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  Themenstart: 2021-10-24

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Sei f eine nicht-konstante ganze Funktion mit f(z)=f(z+1) für alle z\el\ \IC. Zeige: Es existiert eine Folge ((z_n))_n\subsetequal\ \IC mit lim(n->\inf,abs(z_n))=\inf und lim(n->\inf,f(z_n))=42i. Wenn f nun eine ganz-transzendente Funktion ist, dann folgt die Aussage nach dem Satz von Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen. f kann entweder konstant, ein Polynom oder ganz-transzendent sein. Nach Voraussetzung ist f bereits nicht-konstant. Fehlt also noch zu zeigen, dass f kein Polynom sein kann. Dabei habe ich Probleme. Ich dachte vielleicht, dass man einen Widerspruch mit Hilfe des Wachstumslemmas erzeugen kann, aber komme da nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen. Vielen Dank schon einmal!


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

\ Hallo nitram999, Deine Idee, einen Widerspruch zur Annahme, dass f eine Polynomfunktion ist, zu finden ist gut. Überlege Dir, wieviele Nullstellen die Funktion z \mapsto f(z) - c mit einer geeignet gewählten Konstanten c hat. Servus, Roland [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von rlk]


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Danke für die Antwort Roland! Du meinst dann, dass man den Widerspruch mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra konstruieren kann, oder? Weil angenommen f ist ein nicht-konstantes Polynom, dann ist auch f(z)-c ein nicht-konstantes Polynom. Und nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat f(z)-c mindestens eine Nullstelle in \IC. Jetzt müsste man also c so wählen, dass f(z)-c keine Nullstelle in \IC hat, und damit hätte man einen Widerspruch und f kann kein Polynom sein. Hier stehe ich aber noch auf dem Schlauch. Wahrscheinlich muss an die Voraussetzung f(z)=f(z+1) irgendwie verwenden, um zu zeigen dass f(z)-c keine Nullstelle haben kann. Aber wie?


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24

Hallo nitram999, es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. Die Idee ist, die Existenz von unendlich vielen Nullstellen zu zeigen. Servus, Roland


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Danke für dir Antwort Roland! Also angenommen f ist ein nicht-konstantes Polynom. Wir betrachten dann f(z)-c für ein beliebiges c\el\ \IC. Dann ist g(z):=f(z)-c auch ein nicht-konstantes Polynom. Und nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat g(z) mindestens eine Nullstelle. Diese Nullstelle sei mit z_0 bezeichnet. Also gilt g(z_0)=f(z_0)-c=0. Nach Voraussetzung ist f(z_0)=f(z_0+1). Das heißt auch z_0+1 ist eine Nullstelle von g(z). Wendet man die Voraussetzung immer wieder an, so findet man heraus, dass g(z) unendlich viele Nullstellen hat. Diese Nullstellen sind Elemente der (unendlich großen) Menge {z\el\ \IC ||| z=z_0+a mit a\el\ \IZ}. Da g nicht-konstant ist, kann g nicht das Nullpolynom sein. Also gilt für den Grad deg g: 0


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nitram999
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Ah ist ja eigentlich klar meine untere Frage... Da ein Polynom nach Definition als Potenzreihe dargestellt werden kann, bei der nur endlich viele Koeffizienten ungleich 0 sind, folgt dass der Grad eines Polynoms kleiner als unendlich ist. Ich frage mich aber gerade, ob man den obigen Beweis auch ohne den UMweg über g machen kann? Indem man f als Polynom vom Grad n annimmt und dann zeigt dass f nach dem Fundamentalsatz der Algebra zunächst eine Nullstelle haben muss. Und mit der Voraussetzung f(z)=f(z+1) folgt dann ja auch, dass f unendlich viele Nullstellen haben muss, was wiederum ein Widerpruch wäre, da f nur maximal n Nullstellen haben kann (nach dem Fundamentalsatz der Algebra). Vielleicht kann mir hier noch jemand helfen und schauen, ob meine Gedanken so richtig sind? Danke!


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du könntest auch $f$ als Abbildung $\widehat{\mathbb C}\setminus\lbrace \infty\rbrace\to \widehat{\mathbb C}$ betrachten. Dann hat $f$ eine isolierte Singularität in $\infty$. Da $f$ nicht konstant ist, kann die Singularität in $\infty$ auch keine hebbare sein. Nun kannst du noch begründen, warum die Singularität kein Pol sein kann. LG Nico \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Danke Nico für die andere Herangehensweise, ich schau sie mir gleich an! Könntest du mir vielleicht sagen, ob meine obigen Gedanken stimmen?


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rlk
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-24

\ Hallo nitram999, Deine Überlegungen in den Beiträgen 4 und 5 sind richtig. Mit c=f(z_0) erhält man Nullstellen der Polynomfunktion g(z)=f(z)-c bei z_0 + n für n\in \IZ, ohne den Fundamentalsatz^\aleph zu verwenden. \small\void^\aleph Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in \IC. Die einfache Folgerung, dass ein Polynom vom Grad n genau n \(nicht notwendigerweise verschiedene\) Nullstellen in \IC hat, sehe ich nicht als Teil des Fundamentalsatzes.\normal Servus, Roland


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nitram999
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Danke Roland! Ja das stimmt, das ist natürlich strenggenommen eine Folgerung des Fundamentalsatzes.


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