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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Konvergenz des Flusses einer autonomen gewöhnlichen Differentialgleichung
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Universität/Hochschule J Konvergenz des Flusses einer autonomen gewöhnlichen Differentialgleichung
nzimme10
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  Themenstart: 2021-10-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, wir betrachten ein Intervall $I\subseteq \mathbb R$ und eine stetig differenzierbare Funktion $G\colon I\to \mathbb R$. Weiter seien $z_1,z_2\in \mathbb R$ mit $z_1\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich bin denke ich selbst auf eine Lösung gekommen. Falls es jemanden in Zukunft interessieren sollte: Man überlegt sich, dass $\Phi(x,z)$ monoton wächst (mit obigen Annahmen) und nach oben durch $z_2$ beschränkt ist. Dann betrachtet man die Folge $(\Phi(n,z))_{n\in \mathbb N}$, folgert deren Konvergenz und wendet auf den Ausdruck $\Phi(n+1,z)-\Phi(n,z)$ den Mittelwertsatz an. Die linke Seite konvergiert für $n\to\infty$ gegen $0$ und die rechte Seite, die man dann erhält, ist gerade $G(\lim_{n\to \infty} \Phi((n+\xi_n),z))$. Daraus folgt dann die Behauptung. \(\endgroup\)


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