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Universität/Hochschule J Integration, Stammfunktion und Grenzwerte
Sekorita
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  Themenstart: 2021-10-26

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_1_cfca6a1b3b71b5ec7096fe15533b2195.jpg Hallo liebe Community, ich komme bei folgendem Blatt nicht weiter. Bei 3) Muss ich hier eine Stammfunktion zu den Funktionen x,x2,x^3 angeben ? 4) da setzt die Überforderung ein.... Danke für jede Hilfe Mein Ansatz zu 2: ch weiß durch die Stetigkeit, dass ∣φ(x)−φ(0)∣<ε für alle ∣x∣<δ , also φ(0)−ε<φ(x)<φ(0)+ε für −δ0 φ(0)−ε<φ(hx)<φ(0)+ε (φ(0)−ε) * ∫-11(dx/1+x^2) < ∫-11((φ(hx)*dx)/(1+x^2) < (φ(0)+ε) * ∫-11(dx/1+x^2) ->(φ(0)−ε)* ∫-11 arctang(x) +C = (φ(0)−ε)* (π/4+π/4) -> (φ(0)−ε)*π/2 aber das ist ja noch nicht ganz das was in der Aufgabenstellung gefordert war.... Also bitte ich hier nochmal um das Aufzeigen und korrigieren meiner Fehler. bei b komme ich leider auch nicht weiter... Muss ich hier zunächst die STammfunktionen bilden und dann einfach die Integrale ausrechnen? Es siejt nicht wirklich so aus, als ob dies so simpel funktioniere...


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Sismet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) Hey und willkommen auf dem Matheplaneten, Aufgabe 2 kann man glaube ich mit dem Satz von der Majorisierten Konvergenz lösen. In Aufgabe 3 ist die Funktion $f$ offensichtlich(?) stetig also existiert eine Stammfunktion. Mal dir am besten mal die drei Polynome auf und bestimme die Stammfunktion durch fallunterscheidung. Aufgabe 4 sieht nur böse aus. Schlussendlich ist es aber nur HDI und Kettenregel. Grüße Sismet PS: Hier gibt es nen Formeleditor oder du schreibst einfach TeX. Dann kann man deine Lösungen auch angenehmer lesen\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-26

Hallo Sekorita, zu 2: Deine Ausführungen sind leider recht wirr und unleserlich. Alle Deine Integrale lassen sich als \(\int_a^b f(hx)g(x)\,dx\) schreiben. Wegen der Stetigkeit von \(f\) in \(0\) gibt es zu \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) mit \(|f(y)-f(0)|\leq\frac{\varepsilon}{\int_a^b|g(x)|\,dx}\) für alle \(y\) mit \(|y|\leq\delta\). Es folgt \[\left|\int_a^bf(hx)g(x)\,dx-\int_a^bf(0)g(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(hx)-f(0)||g(x)|\,dx\leq\varepsilon,\] sofern \(|h|\leq\frac{\delta}{R}\), wobei wir \(R\) so wählen, dass \([a,b]\subseteq[-R,R]\). Daher ist \(\lim_{h\to0}\int_a^bf(hx)g(x)\,dx=f(0)\int_a^bg(x)\,dx\). Zu 3: Überlege Dir, dass \(f\) stetig ist. Damit hat \(f\) nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion, z.B. \(F(y):=\int_0^y f(x)\,dx\). Um das Integral auszurechnen, musst Du schauen, auf welchem Teil der reellen Achse welche der Funktionen \(x,x^2,x^3\) die größten Werte annimmt (Fallunterscheidung). Zu 4: Wähle ein festes \(z\in I\) und beachte, dass \(G(x)=\int_z^{\psi(x)}f(y)\,dy-\int_z^{\varphi(x)}f(y)\,dy.\) Nun kannst Du den Hauptsatz und die Kettenregel anwenden. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Sekorita
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

Hallo, hier erstmal meine Gedanken zu 2 nochmal handschriftlich und leserlich. Meine Antworten / Gedanken zu 3 und 4 folgen. Ich bin leider auch bei 2b noch überfordert. Danke schonmal für die freundliche und schnelle Antwort https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_aw_u3.PNG


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Sekorita
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_ddddd.PNG soll ich dann jetzt einfach die einzelnen Stammfunktionen berechnen, (1/2)x^2 ; (1/3)x^3 ; (1/4)x^4 aber ich soll ja das Maximum der Menge der Funktionen betrachten und dann das Integral ausrechnen. Da wäre ich dankbar für Erklärungen


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Sekorita
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_aaaaaa.PNG hier mein erster Versuch zu 4


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sonnenschein96
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-26

Zu 2: 2a ist von der Idee her richtig, aber nicht gut aufgeschrieben. Schau Dir meinen ersten Beitrag noch einmal an. Das \(C\) hat da übrigens nichts verloren. 2b funktioniert genauso wie 2a, daher musst Du schon genau sagen, womit Du überfordert bist. Zu 3: Die Notation \(g'\) und \(g''\) ist etwas irreführend, da dies normalerweise Ableitungen bezeichnet. Außerdem ist dies keine Komposition stetiger Funktionen, sondern ein Produkt stetiger Funktionen. Die Komposition kommt erst beim Maximum in Spiel. Du musst wie gesagt einfach nur \(\int_0^y f(x)\,dx\) ausrechnen, wofür Du eine Fallunterscheidung machen musst. Mal Dir \(f\) am besten erstmal auf, dann siehst Du auch, welche Teile der reellen Achse Du unterscheiden musst. Zu 4: Was Du schreibst ergibt für mich leider absolut keinen Sinn. Die Aufgabe lässt sich eigentlich mit einer stumpfen Rechnung in einer Zeile lösen.


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Sekorita
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_w1.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_w2.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_w3.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_w4.PNG Danke für deine Hilfe. Auf deine Antwort werde ich morgen Mittag ausgeruht und ausgeschlafen antworten. Ich tue mich gerade mit dem Thema noch etwas schwer und ich sag schonmal Entschuldigung wenn ich mich etwas bräßig anstelle...


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sonnenschein96
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-27

Zu 2: Du kannst wie gesagt die Formel \(\lim_{h\to0}\int_a^b f(hx)g(x)\,dx=f(0)\int_a^b g(x)\,dx\) benutzen. Bei 2a kannst Du \(f(x)=\varphi(x)\) und \(g(x)=\frac{1}{1+x^2}\) wählen. Bei 2b kannst Du einmal \(f(x)=\exp(x)\) und \(g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) und einmal \(f(x)=\cos(\pi-x)\) und \(g(x)=x^p\) wählen. Beachte, dass \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\exp(\frac{x}{n})}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\lim_{h\to0}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\exp(hx)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\) gilt. Zu 3: Für \(x\leq0\) ist z.B. \(f(x)=\max(x,x^2,x^3)=x^2\) (sieht man auch in Deiner Skizze), also \[\int_0^x f(y)\,dy=\int_0^x y^2\,dy=\frac{x^3}{3}.\] Wie ist das für \(x>0\) (Du solltest Deine Skizze in diesem Bereich nochmal sauberer zeichnen)? Zu 4: Außer dass da ein paar Klammern fehlen, stimmt das eigentlich. Du weißt jetzt \(G\in C^1(J)\) mit \(G(x)=F(\psi(x))-F(\varphi(x))\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Nun musst Du diese Gleichung nur noch mit der Kettenregel ableiten.


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Sekorita
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Hallo, ich wollte wenigstens schnell drübergucken. Nr. 2 und 4 sollten dann jetzt ohne Probleme machbar sein, ich werde es heute Mittag versuchen zu erledigen, Bei 3) int(f,x,-3,2) = int(x^2+x^3,x,-3,2)= F(2)-F(-3) mit F= (1/3)*x^3 + (1/4)*x^4, weil (1/4)*x^4 rauskommt wenn ich int(f,y,0,x) für x^3 berechne


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sonnenschein96
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-27

Du hast offenbar leider immer noch nicht verstanden, wie \(f\) eigentlich aussieht. Dies solltest Du aber, bevor Du anfängst irgendwelche Integrale auszurechnen. Tipp: Unterscheide die drei Fälle \(x\leq0\) und \(0\leq x\leq 1\) und \(1\leq x\). Ich hatte ja schon gesagt, dass \(f(x)=x^2\), wenn \(x\leq0\), da in diesem Fall \(x^2\geq0\) ist und \(x\leq0\) und \(x^3\leq0\), womit \(x^2\geq x\) und \(x^2\geq x^3\) gilt, was bedeutet, dass \(f(x)=\max(x,x^2,x^3)=x^2\). Jetzt musst Du Dir noch die anderen beiden Fälle anschauen. Vielleicht erstmal ohne Rechnung: Du kannst doch schon direkt am Bild ablesen, auf welchem Bereich welcher der drei Funktionsgraphen jeweils oben ist. Für \(x\leq0\) ist das die lila Kurve (WolframAlpha). https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52970_maximum.gif


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Sekorita
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Hey, ich war da doch etwas begriffstutzig, ich hätte das an der Zeichnung sehen müssen... Für x <=0 ist das Maximum {x^2}, für 0<=x<=1 müsste das Maximum dann {x} sein und dementsprechend für x>=1 dann {x^3}. Ich soll jetzt ja das int(f,x,-3,2) bestimmen. Mache ich das, indem ich es folgender Maßen rechne: int(f,x,-3,2) = int(x^3,x,1,2) +int(x,x,0,1) + int(x^2,x,-3,0) Ich hoffe ich bin nicht komplett auf dem Holzweg.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-27

Nein, Du bist damit nicht auf dem Holzweg. Das konkrete Integral kannst Du so ausrechnen. Du solltest aber auch noch eine Stammfunktion von \(f\) bestimmen, wofür Du wie gesagt z.B. \(\int_0^y f(x)\,dx\) berechnen kannst. Auch hier musst Du wieder eine Fallunterscheidung bzgl. \(y\) machen.


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Hey, hier erstmal meine anderen Lösungen. Bei 2b bei der 2. Teilaufgabe stecke ich noch etwas fest. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_a.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_b.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_c.PNG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_d.PNG Nochmal zu 3) Gut, dann habe ich wenigstens das Ausrechnen des Integrals verstanden. Das mit der einen Stammfunktion löst bei mir ein kleines Verständnisproblem aus, weil ich ja für zur Berechnung des Integrals von f ja 3 Stammfunktionen bilde, je nachdem wie x ist. Eine Fallunterscheidung könnte ich doch hier nur mit y>0 oder y<0 machen. Aber wie ich dann auf eine STammfunktion für ganz f komme, verstehe ich leider noch nicht. Vorab aber nochmal für deine geduldige und freundliche Hilfe ein großes Dankeschön


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sonnenschein96
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-27

Es gilt \(\arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\). Eine Stammfunktion von \(x\mapsto x^p\) solltest Du eigentlich schon aus der Schule kennen. Um \(\int_0^y f(x)\,dx\) zu berechnen, musst Du wieder die Fälle \(y<0\) und \(0\leq y\leq1\) und \(1


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

zu 2) (\pi)/3 als Ergebnis Das müsste dann -(1/(1+p))*x^(p+1) und als Ergebnis dann -(1/(1+p))*1^(p+1) = -(1/(1+p)) Zu 3) Es tut mir leid, aber ich verstehe es einfach nicht. Ich wei0, dass mein Ziel eine Stammfunktion zu f ist. Aber meinem bisherigen Verständnis davon, dachte ich dies gemacht zu haben, als ich die Stammfunktionen für die Fallunterscheidungen bei x gemacht habe.... Jetzt dreht sich das ganze ja um. Nehme ich jetzt einfach mal y<0, das gilt ja z.B. für x^2 nicht, aber ich verstehe nicht, was ich hier wie unterscheiden und rechnen muss.....


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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-10-27

Für \(y<0\): \(\int_0^y f(x)\,dx=\int_0^y x^2\,dx=\ldots\) Für \(0\leq y\leq1\): \(\int_0^y f(x)\,dx=\int_0^y x\,dx=\ldots\) Für \(1


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Sekorita
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

für y<0 ist die Stammfunktion dann (1/3)*x^3 0


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sonnenschein96
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-10-27

Zusammengefasst ist die Funktion \(f\) also gleich \(x^2\) bzw. \(x\) bzw. \(x^3\) auf den drei genannten Bereichen \((-\infty,0]\) und \([0,1]\) und \([1,\infty)\). Eine Stammfunktion erhält man im Wesentlichen, indem man auf jedem dieser Bereiche eine Stammfunktion findet (\(\frac{x^3}{3}+A\) bzw. \(\frac{x^2}{2}+B\) bzw. \(\frac{x^4}{4}+C\)), wobei man aber die Konstanten geeignet wählen muss, da die resultierende Funktion sonst nicht einmal stetig ist (wir haben \(A=B=0\) und \(C=\frac{1}{4}\) gewählt). Generell muss hier \(A=B\) und \(C=B+\frac{1}{4}\) sein (sieht man, wenn man die Stetigkeitsbedingung in \(x=0\) und \(x=1\) anschaut).


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Sekorita
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Danke für diesen Abschluss. Ohne deine Hilfe hätte ich das nicht geschafft. Ich wünsche dir noch einen angenehmen Tag und hoffe, dass ich mich bei anderen Fragen gerne wieder an dich wenden darf / du nicht allzu verzweifelt nach mir bist und auch anderen so weiterhilfst, danke :) Das man in den jeweiligen Bereichen dann versucht eine Stammfunktion zu finden, habe ich davor auch verstanden, ich konnte es nur nicht zu Papier bringen und auf das mit der Stetigkeit wäre ich nicht gekommen


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