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Mechanik » Theoretische Mechanik » Potential aus Bahnkurve bestimmen- wie?
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Universität/Hochschule J Potential aus Bahnkurve bestimmen- wie?
Nessted0
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  Themenstart: 2021-10-27

Gegeben habe ich eine parametrisierte Kurve $r(\eta(t)) = \left(\begin{array}{c} x(\eta(t)) \\ y(\eta(t))\end{array}\right)$, wobei ich separat gegeben habe: $x(\eta) = \dfrac{p}{2}\,\left(1-\eta^2\right), \quad y = p\,\eta, \quad t = \sqrt{\dfrac{m\,p^3}{a}}\,\dfrac{\eta}{2}\,\left(1+\dfrac{\eta^2}{3}\right)$ Aufgabe ist nun, unter anderem die potentielle Energie zu berechnen. Ich frage mich nur, wie das mit den Gleichungen möglich ist? Man könnte ja das Potential schreiben als $\Delta V = m\,\ddot{r}$. Die Sache ist nur, dass die zeitliche Ableitung von r, aufwändig zu berechnen ist, da alleine für die erste Ableitung: $\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}} = \dfrac{\mathrm{d}r/\mathrm{d} \eta}{\mathrm{d}t/\mathrm{d}\eta}$ und weiterhin die zweite Ableitung: $\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}^2} = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d\eta}^2}\,\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d\eta}}-\dfrac{\mathrm{d^2}t}{\mathrm{d\eta}^2}\,\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d\eta}}}{\left(\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d\eta}}\right)^3}$ große Terme stehen. Außerdem ist selbst nach der Berechnung ja nur $r(\eta(t))$ gegeben. Es bleibt fraglich, wie dann das Potential zu berechnen ist, da man ja dafür ein $r$ der Form $r = \left(x, y\right)^T$ braucht. Kann es also sein, dass unter den gegebenen Größen das Potential nicht zu berechnen ist und man stattdessen einfach das Gravitationspotential hinzuzunehmen hat?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27

\quoteon(2021-10-27 09:56 - Nessted0 im Themenstart) Man könnte ja das Potential schreiben als $\Delta V = m\,\ddot{r}$. \quoteoff Müsste es nicht $\nabla V = - m\ddot r$ heißen? Das sieht mir allerdings nach einem Umweg aus, weil Du zwei mal ableiten und dann wieder einmal integrieren musst. Wie wäre es mit der Energieerhaltung: \(V + {\textstyle{1 \over 2}}m\dot r^2 = const.\)


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Nessted0
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Ja, du hast Recht, das Minus muss noch mit rein. Dein zusätzlicher Ansatz gefällt mir. Ich frage mich nur, wie ich es auch hier schaffen soll, eine Potentialfunktion $V(x,y)$ zu finden die diesen Bedingungen genügt, da es recht willkürlich, aber nicht unkompliziert scheint, sich diese Funktion aus den langen Termen für $x$ und $y$ zusammenzubasteln. Mittlerweile hat sich herausgestellt, dass einfach das Gravitationspotential anzunehmen ist, aber die Frage besteht, ob sich dieses alleine aus der Parametrisierung herausarbeiten lässt.


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-28

\quoteon(2021-10-28 00:00 - Nessted0 in Beitrag No. 2) aber die Frage besteht, ob sich dieses alleine aus der Parametrisierung herausarbeiten lässt. \quoteoff Es gibt keine eindeutige Lösung für alle x,y aber man kann z.B. V(x) für die Punkte auf der vorgegebenen Kurve ermitteln. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sieht das Ergebnis sogar sehr einfach aus.


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