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 Homogene DGL zu einer Lösung finden |
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Banana
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2021-10-27
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Guten Abend Leute,
ich bin mir bei meiner Lösung unsicher. Hier erstmal die Aufgabe:
Finde eine homogene Differentialgleichung, sodass die Funktion \(x(t)=ct³\) für jedes \(c\in\IR\) eine Lösung ist.
Nun zu meiner Idee:
Es ist ja \(\dot x(t)=3ct²\) und \(\ddot x=6ct\). Dann muss gelten, dass \(\alpha*x(t)+\beta*\dot x(t) *\ddot x(t)=0\) für \(\alpha,\beta\in\IR\). Durch Umformen habe ich dann \(\alpha\) und \(\beta\) bestimmt und hätte folgende Differentialgleichung als Lösung:
\(\dot x(t)=\frac{18c*x(t)}{\ddot x(t)}\)
Nun bin ich mir aber unsicher, da \(\alpha=-18\beta*c\) sein müsste und dort bereits das \(c\) vorhanden ist. Haut meine Idee hin oder hab ich vollkommenen Käse fabriziert ?
Würde mich über Hinweise oder Verbesserungen freuen :)
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27
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Hallo
Mein Ansatz wäre
x'=x*f(t)
Jetzt kannst du x=c*t^3 einsetzen und nach f(t) umstellen.
Ich erhalte f(t)=3/t
Gruß Caban
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Banana
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Hey, ich danke dir erstmal für deine Nachricht. Das ergibt Sinn und wirkt irgendwie sinnvoller als mein Ansatz. Kannst du mir erklären, wie du darauf gekommen bist? Durch bloßes Raten?
Mir steht nämlich noch die gleiche Aufgabe für die Funktion \(x(t)=ct+c²\) bevor. Und eh ich wieder meinen verkorksten Ansatz probiere, wäre es cool zu wissen, ob es dafür eine Strategie gibt :-)
EDIT: Wenn ich deinen DGL-Ansatz löse, erhalte ich die Funktion \(x(t)=e^c*t\). Wenn ich \(e^c\) als neue Konstante \(\widehat{c}\) definiere, decke ich ja aber nicht alle \(\widehat{c}\in\IR\) ab. Oder übersehe ich da grad was ?
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Caban
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-27
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Hallo
Ein Ansatz der allgemein funktionieren müsste, ist x nach t abzuleiten, nach C umzustellen und dann das c einzusetzen.
Gruß Caban
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Banana
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Alles klar, das werde ich mal ausprobieren. Vielen Dank erstmal.
Noch eine kurze Frage von vorhin: Wenn ich deinen Ansatz nutze und die DGL löse, erhalte ich als Lösung \(x(t)=e^c*t³\). Dann würde ich ja aber mit \(e^c\) nicht alle reellen Zahlen abdecken. Oder übersehe ich da was ?
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-27
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Hallo
Auf welche Aufgabe bezieht sich den x=exp(c)*t^3?
Gruß Caban
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Banana
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Wahrscheinlich denke ich grad zu verkehrt.
Ich beziehe mich noch auf die Lösung \(x(t)=ct³\). Dazu hattest du mir ja den Ansatz geliefert, dass \(f(t)=\frac{3}{t}\) sein muss. Dann erhalte ich als DGL schließlich \(\dot x=\frac{3x}{t}\). Wenn ich diese DGL nun ohne Vorwissen löse (zur Kontrolle) erhalte ich als Lösung \(x(t)=e^c*x³\). Wenn ich mir nun \(e^c\) als \(\widehat{c}\) definiere, dann decke ich ja aber nicht alle reellen Zahlen ab, sondern nur die positiven Werte. Somit würde ja die Lösung nicht für alle \(\widehat{c}\in\IR\) gelten. Verstehst du mein Problem?
In der Aufgabenstellung wurde der Zusatz "für jedes \(c\in\IR\) nochmal besonders fett markiert. Daher bin ich mir grad so unsicher.
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zippy
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Mitteilungen: 3608
 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-27
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\quoteon(2021-10-27 22:36 - Banana in Beitrag No. 6)
Wenn ich diese DGL nun ohne Vorwissen löse (zur Kontrolle) erhalte ich als Lösung \(x(t)=e^c*x³\).
\quoteoff
Das sind aber nicht alle Lösungen dieser DGL, denn die Lösungsmenge einer homogenen linearen Differentialgleichung ist bekanntlich ein linearer Raum und das bedeutet insbesondere, dass jedes Vielfache einer Lösung (also nicht nur die positiven) wieder eine Lösung ist.
Du hast also beim Lösen der DGL irgendwelche einschränkenden Annahmen gemacht.
--zippy
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Banana
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Ah okay, dann hab ich wahrscheinlich irgendwo etwas falsch gemacht. Dann vielen Dank noch für den Hinweis und einen schönen Abend euch noch :-)
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Caban
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-27
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Es ergibt sich:
ln(abs(y))=ln(abs(t^3))+c
Für y>0
y=exp(c)*t^3
Für y<0
-y=(t^3)exp(c)
y=-exp(c)*t^3
Damit ist alles abgedeckt.
PS: y=0 fehlt noch.
Gruß Caban
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Wally
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-27
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Eine allgemeine Methode Dgl zu einer gegebenen Funktionenschar zu finden, besteht darin, nach c umzustellen und dann abzuleiten.
Viele Grüße
Wally
P.S. die dritte Potenz ist in LaTeX t^3 - dann kann man das auch lesen ;)
@Caban: Wenn man die Nullösung nicht vergisst, ist wirklich alles abgedeckt.
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Caban
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-27
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Hallo wally
Das hatte ich übersehen.
Gruß Caban
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