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a⁵ ≡ a mod 5 |
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Makde
Junior  Dabei seit: 17.12.2020 Mitteilungen: 20
 | Themenstart: 2021-11-12
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Hallo,
es soll gezeigt werden, dass für "a" Element ganzer Zahlen "a^5" kongruent zu "a, mod(5)" ist. Ich verstehe, dass dies der Fall sein muss, weil "(a^5-a)/a" immer eine ganze Zahl ergibt, aber ich weiß nicht wie ich so etwas mathematisch zeigen kann.
Wir haben einige Fragen die in diese Richtung gehen (Zeige, beweise etc...) und ich verstehe noch nicht wie ich sie angehe. Kann mir jemand bitte mit dieser Frage und eventuell einem Ratschlag zur Angehensweise bei solchen Aufgaben weiter helfen?
Gruß
Makde
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 4240
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-12
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Möglicherweise kennst du Sätze, die etwas zu $a^p\pmod p$ oder $a^{p-1}\pmod p$ für eine Primzahl $p$ aussagen (Stichwort: Kleiner fermatscher Satz).
Anderenfalls kannst du $a^5\equiv a\pmod 5$ auch einfach für $a=0$, $a=\pm1$ und $a=\pm2$ direkt nachrechnen.
--zippy
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Tetris
Senior  Dabei seit: 28.08.2006 Mitteilungen: 7797
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-12
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Es geht auch recht elementar:
\( 0 \\ \equiv a^5 - a \\ = \left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2+1\right) \\ \equiv \left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2-4\right) \\ = \left(a-2\right)\cdot\left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a+2\right)\pmod 5 \)
Lg, T.
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Makde
Junior  Dabei seit: 17.12.2020 Mitteilungen: 20
 | Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-14
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Vielen Dank an euch beide.
Gruß
Makde
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Makde hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. Makde hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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