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Universität/Hochschule J a⁵ ≡ a mod 5
Makde
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 20
  Themenstart: 2021-11-12

Hallo, es soll gezeigt werden, dass für "a" Element ganzer Zahlen "a^5" kongruent zu "a, mod(5)" ist. Ich verstehe, dass dies der Fall sein muss, weil "(a^5-a)/a" immer eine ganze Zahl ergibt, aber ich weiß nicht wie ich so etwas mathematisch zeigen kann. Wir haben einige Fragen die in diese Richtung gehen (Zeige, beweise etc...) und ich verstehe noch nicht wie ich sie angehe. Kann mir jemand bitte mit dieser Frage und eventuell einem Ratschlag zur Angehensweise bei solchen Aufgaben weiter helfen? Gruß Makde

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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3960
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-12

Möglicherweise kennst du Sätze, die etwas zu $a^p\pmod p$ oder $a^{p-1}\pmod p$ für eine Primzahl $p$ aussagen (Stichwort: Kleiner fermatscher Satz). Anderenfalls kannst du $a^5\equiv a\pmod 5$ auch einfach für $a=0$, $a=\pm1$ und $a=\pm2$ direkt nachrechnen. --zippy

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Tetris
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Mitteilungen: 7776
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-12

Es geht auch recht elementar: \( 0 \\ \equiv a^5 - a \\ = \left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2+1\right) \\ \equiv \left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2-4\right) \\ = \left(a-2\right)\cdot\left(a-1\right)\cdot a \cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a+2\right)\pmod 5 \) Lg, T.

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Makde
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Mitteilungen: 20
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-14

Vielen Dank an euch beide. Gruß Makde

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Makde hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Makde hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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