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Teilbarkeit » Kongruenzen » Beweis einer bestimmten Eigenschaft eines bestimmten Ringes
Autor
Universität/Hochschule J Beweis einer bestimmten Eigenschaft eines bestimmten Ringes
sussy
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 27
  Themenstart: 2021-11-18

Hallo, ich tue mir seit einer Weile bei einer Aufgabe schwer (ich bin auch nicht sehr gut im Umgang mit Ringen). Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Gegeben ist der Ring (\IZ_(5),\squaredot,\diamond) . Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle a,b\in\IZ_(5) gilt (a \squaredot b)^5=a^5 \squaredot b^5 . Hierbei ist die Potenz definiert als k^5=k \diamond k \diamond k \diamond k \diamond k . Meine Vermutung ist, dass es wahr ist aber bei mir scheiterts an einem geeigneten Beweis. Ich habe versucht die Verknüpfungen "einzusetzen, aber dabei habe ich schnell den Überblick verloren und viele Fehler gemacht (es ging zumindest nicht auf). Es gilt hier ja a \squaredot b=(a+b)mod5 sowie auch a \diamond b=(a*b)mod5 . (auf meinem Arbeitsblatt steht + statt \squaredot und * statt \diamond , aber ich dachte man kommt sonst zu viel durcheinander bei der Zeile oben drüber) Gibt es eine einfachere Methode um diese Aussage zu beweisen, die ich gerade übersehe? Oder bin ich schon auf dem richtigen Weg und muss einfach strukturiert bleiben damit ich ja nichts vergesse? Würde mich sehr über Tipps und Denkanstöße freuen! Vielen Dank im Voraus! Grüße, sussy

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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4240
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-18

Schreibe$$ (a+b)^5=a^5+{5\choose1}\,a^4\,b+{5\choose2}\,a^3\,b^2+ {5\choose3}\,a^2\,b^3+{5\choose4}\,a\,b^4+b^5 $$und schau dir die Binomialkoeffizienten genauer an. --zippy

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Gestath
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Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-19

Hallo, du kannst etwas mehr beweisen, nämlich für alle x \el\ \IZ_5 gilt: x^5=x bzw. für alle x!=0 gilt: x^4=1 etwa durch Ausnutzen der Gruppeneigenschaft oder einfach durch Einsetzen aller Elemente. MfG Gestath

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sussy
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 27
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-20

Vielen Dank für eure Antworten! Ich habe jetzt die Aufgabe lösen können, dabei tat ichs mir am einfachsten mit Gestath's Tipp. Grüße, sussy

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sussy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sussy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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