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Autor |
Beweis einer bestimmten Eigenschaft eines bestimmten Ringes |
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sussy
Aktiv  Dabei seit: 17.12.2020 Mitteilungen: 27
 | Themenstart: 2021-11-18
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Hallo,
ich tue mir seit einer Weile bei einer Aufgabe schwer (ich bin auch nicht sehr gut im Umgang mit Ringen). Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Gegeben ist der Ring (\IZ_(5),\squaredot,\diamond) . Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle a,b\in\IZ_(5) gilt (a \squaredot b)^5=a^5 \squaredot b^5 . Hierbei ist die Potenz definiert als k^5=k \diamond k \diamond k \diamond k \diamond k .
Meine Vermutung ist, dass es wahr ist aber bei mir scheiterts an einem geeigneten Beweis. Ich habe versucht die Verknüpfungen "einzusetzen, aber dabei habe ich schnell den Überblick verloren und viele Fehler gemacht (es ging zumindest nicht auf).
Es gilt hier ja a \squaredot b=(a+b)mod5 sowie auch a \diamond b=(a*b)mod5 .
(auf meinem Arbeitsblatt steht + statt \squaredot und * statt \diamond , aber ich dachte man kommt sonst zu viel durcheinander bei der Zeile oben drüber)
Gibt es eine einfachere Methode um diese Aussage zu beweisen, die ich gerade übersehe? Oder bin ich schon auf dem richtigen Weg und muss einfach strukturiert bleiben damit ich ja nichts vergesse?
Würde mich sehr über Tipps und Denkanstöße freuen! Vielen Dank im Voraus!
Grüße,
sussy
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 4240
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-18
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Schreibe$$
(a+b)^5=a^5+{5\choose1}\,a^4\,b+{5\choose2}\,a^3\,b^2+
{5\choose3}\,a^2\,b^3+{5\choose4}\,a\,b^4+b^5
$$und schau dir die Binomialkoeffizienten genauer an.
--zippy
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Gestath
Aktiv  Dabei seit: 22.07.2013 Mitteilungen: 242
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-19
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Hallo,
du kannst etwas mehr beweisen, nämlich
für alle x \el\ \IZ_5 gilt: x^5=x
bzw. für alle x!=0 gilt: x^4=1
etwa durch Ausnutzen der Gruppeneigenschaft oder einfach durch Einsetzen aller Elemente.
MfG
Gestath
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sussy
Aktiv  Dabei seit: 17.12.2020 Mitteilungen: 27
 | Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-20
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Vielen Dank für eure Antworten! Ich habe jetzt die Aufgabe lösen können, dabei tat ichs mir am einfachsten mit Gestath's Tipp.
Grüße,
sussy
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sussy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. sussy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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