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Universität/Hochschule Verwirrung zu Partitionen und Äquivalenzrelationen
simsun
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Dabei seit: 12.11.2021
Mitteilungen: 9
  Themenstart: 2021-11-23

Guten Abend! Ich hoffe, jemand kann mir hier sagen, ob ich falsch liege oder auf dem richtigen Weg bin. Wir haben in der Vorlesung folgendes Lemma vorgelegt bekommen: \[ Sei\ P\ eine\ Partition\ einer\ Menge\ A.\ Die\ Relation\ R\ \subseteq A \times A\ sei\ gegeben\ durch:\\ xRy \Leftrightarrow \exists M \in P : x \in M \land y \in M.\\ Dann\ ist\ R\ eine\ Äquivalenzrelation. \] Folgende Fragen dazu: Ist hier gemeint, dass jedes x das in Relation zu y steht in einer Äquivalenzrelation in der selben Teilmenge liegen muss, in der Partition? Gilt das immer und auch nur für Äquivalenzrelationen? Sprich A = {x, y, z} und R = {(x, x), (y, y), (z, z), (x, y), (y, x)}. Dann wäre die Partion P = {{x, y}, {z}} ? Liege ich richtig in der Annahme, dass der Grund dafür folgender ist: Die Partition muss aus disjunkten (oder gleichen) Mengen bestehen. Steht x in relation zu y, so liegen sie in der selben Äquivalenzklasse. Wären x und y in verschiedenen Mengen in P, dann wären die Mengen nicht disjunkt. Also beschreibt jedes Element aus P, sprich jede Menge darin, eine Äquivalenzklasse? Ich danke euch herzlich im Voraus. Viele Grüße


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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-23

Hallo simsun, was du schreibst ist zwar etwas verwirrend, z. B.: \quoteon(2021-11-23 21:20 - simsun im Themenstart) Ist hier gemeint, dass jedes x das in Relation zu y steht in einer Äquivalenzrelation in der selben Teilmenge liegen muss, in der Partition? Gilt das immer und auch nur für Äquivalenzrelationen? \quoteoff Aber dein Gedanke ist wohl richtig. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A zerlegt A in paarweise disjunkte Teilmengen \(A_i\subseteq A\): \[A=\bigcup_{i\in I}A_i\] Zwei Elemente \(x,y\in A\) sind dann genau dann "äquivalent", wenn es ein i gibt mit \(x,y\in A_i\).


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-24

\quoteon(2021-11-23 23:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1) Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A zerlegt A in paarweise disjunkte Teilmengen \(A_i\subseteq A\): \[A=\bigcup_{i\in I}A_i\] Zwei Elemente \(x,y\in A\) sind dann genau dann "äquivalent", wenn es ein i gibt mit \(x,y\in A_i\). \quoteoff Und wenn man auf das "Durchnummerieren" der Elemente der Partition mit Hilfe der Indexmenge $I$ verzichtet, kommt man wieder zur Formulierung der Vorleseung: Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $A$ zerlegt $A$ in paarweise disjunkte Teilmengen \(M\in P\): \[A=\bigcup P\] Zwei Elemente \(x,y\in A\) sind dann genau dann "äquivalent", wenn es ein $M\in P$ gibt mit \(x,y\in M\).


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simsun
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Hi, entschuldigt bitte die späte Rückmeldung und vielen Dank für eure Antworten! Ich habe mittlerweile auch verstanden, was damit gemeint war.. Wir hatten den Satz unten, sowie einen weiteren... anscheinend war alles, was das Ganze aussagen sollte, dass eine Äquivalenzrelation eine Partition ergibt (die Teilmengen sind die Äquivalenzklassen, da ja Teilmengen einer Partition disjunkt sein müssen), sowie auch eine Partition eine Äquivalenzrelation ergibt, unter der Prämisse, dass Elemente immer in Relation zu einander stehen, gdw. sie in der selben Teilmenge der Partition liegen. Irgendwie musste ich das Konzept von Äquivalenzklassen erst wirklich verstehen, bevor ich den Satz verstehen konnte. Viele Grüße!


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