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Strukturen und Algebra » Ringe » Beweis über Ideal eines Rings
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Universität/Hochschule J Beweis über Ideal eines Rings
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-11-27

Ich muss die folgende Behauptung zeigen: >Zeige, dass jedes zweiseitige Ideal von $Mat_{2,2}(\mathbb{Q})$ entweder trivial oder $Mat_{2,2}(\mathbb{Q})$ ist Ich wollte dies wie folgt tun: Nehmen wir an, dass $I$ ein Ideal von $Mat_{2,2}(\mathbb{Q})$ ist und $I$ nicht trivial ist. Ich behaupte, dass die Identitätsmatrix in $I$ liegt. Aber ich sehe irgendwie nicht, wie ich das zeigen soll. Kann mir jemand helfen? Denn ich dachte, ich könnte eine nichttriviale Matrix $M$ in I nehmen und dann ist ihre Inverse in $Mat_{2,2}(\mathbb{Q})$. Aber da $I$ ein Ideal ist, ist $M\cdot M^{-1}=Id$ in I. Aber das funktioniert nur, wenn alle Einträge von $M$ ungleich Null sind, was ist, wenn z.B. $m_{1,1}, m_{1,2}$ Null sind? Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe.


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Edit: Entfernt.


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Red_
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-27

Sei $I$ ungleich 0. Nehme eine Matrix $A$. Wenn die Matrix Rang 2 hat, ist sie invertierbar, also liegt die Identität $I_2 = A\cdot A^{-1}$ in $I$. Wenn $A$ Rang 1 hat, kommt man durch einen Basiswechsel auf die Form $\big(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\big)$, welche also auch in $I$ liegt. Jetzt spiel ein bisschen rum und multiplizier das mit anderen Matrizen, um die Identität zu bekommen. Edit: Schöner wäre es einfach sich dran zu erinnern, dass man Zeilen und Spalten vertauschen kann. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-27

\quoteon(2021-11-27 17:27 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 1) wenn ein Ring $R$ nur die beiden Ideale $(0)$ (das triviale Ideal) und $R$ hat (also den Ring selbst), dann ist das äquivalent dazu, dass $R$ ein Körper ist. \quoteoff Es geht hier nicht um kommutative Ringe. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Strandkorb
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hallo Ah vielen Dank euch allen, ja das macht Sinn!!!


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