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Mathematik » Stochastik und Statistik » Funktion mehrerer random Ereignisse ?
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Universität/Hochschule Funktion mehrerer random Ereignisse ?
densch
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  Themenstart: 2021-11-28

Hallo, meine Stochastikkenntnisse sind leider recht begrenzt, daher fiel mir gerade kein besserer Titel ein. Ich mache mal ein sehr stark vereinfachtes Beispiel um zu verdeutlichen worum meine Frage sich dreht: Sagen wir wir haben 2 normale Würfel, Würfel a und b, mit Zahlen 1-6. wir werfen erst a, dann b. beim werfen von a kann, rein zufällig eine der Zahlen 1-6 herauskommen (jede mit Wahrshceinlichkeit 1/6 lpgishcerweise), ebenso kann b 1-6 produzieren. Nun,w arum auch immer interessiert mich folgende Frage: A und B sind beide zufällig aus 1-6 wie erwähnt. Wie wahrshcienlich ist es dann dass der Ausdruck a+3b>9 erfüllt wird? Natürlich kann man hier hingehen und alle 36 möglichen Ergebnis-2Tupel durchgehen (also für (1,1) bis (6,6) den linksseitigen Term auswerten und gucken für welche Tupel es erfüllt wird) und die Anzahl an "günstigen" Tupels durch die Gesamtanzahl 6^2 an allen möglichen Tupels teilen um die Wahrshceinölichkeit zu erhalten. Mein üproblem is im Prinzip dasselbem es sind dort bspw. 7 Würfel, die Zahlen gehen von 1-11 und der auszuwertende Ausdruck ist ((44+a)*1.5/50) * ((44+b)*1.5/50) * ... *((44+g)*1.5/50) >= 1.1^24 Woher jetzt die Formeln kommen ist nebensächlich. Interessant wäre halt ob man das, ausser durhc Tupel für Tupel durchrehcnen, irgendwie Stochastik lösen kann? Ich habe mir zwar für diese Variante ein ziemlich umständliches Java Programm gebaut das, hoffentlich, das gewünschte berechnet. Aber wenn es da sowas wie eine simple Formel zum bestimmen des Ganzen gäbe, wäre dsas nice weil ich dann ohme gro´ß Aufwand auch andere Fälle wie bspw. Würfelzahl=3 , Zahlen 1-26, Bedingung >=1.1^30 oder so berehcnen könnte. Hat da Jemand eine gute Idee für sowas? :-) Kann hier auch bei Bedarf mal mein Java Programm psoten falls das erlaubt ist. ich habe es,hoffe ich, shcon möglihst sparsam gestaltet sodass möglichst wenig berehcnet und getestet werden muss. Aber es wird halt trotzdem ziemlich groß und lang wenn die einzelnen Parameter größer werden :-/ Gerade von der darin benutzten mathematik her wäre es echt nice wenn da Jemand drübergucken könnte :-) PS: Zur Info: Das ist keine Hausaufgabe oder Dergleichen,vielmehr will ich dami berechnen ob ein gewisses Investment so ganz grob besser ist als ein Anderes. Daher kommt auch die etwas umständliche Ungleichung.


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cramilu
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-28

Hallo densch, ich möchte zunächst Deinen Beispielausdruck verallgemeinern und dann umformen: \((g+x_1)\cdot f\:\:\cdot\:\:(g+x_2)\cdot f\:\:\cdot\:\: ...\:\:\cdot\:\:(g+x_n)\cdot f\:\:\geq\:\:b^t\) mit \(g=44\) , \(f=\frac{1,5}{50}\) , \(b=1,1\) und \(t=24\) ; wobei \(n=7\) und \(x_i\,\in\,\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\) . \(\Rightarrow\) \((g+x_1)\:\:\cdot\:\:(g+x_2)\:\:\cdot\:\: ...\:\:\cdot\:\:(g+x_n)\:\:\geq\:\:\frac{b^t}{f^n}\) Nun kann man das ganze gewiss "irgendwie" mit stochastischen Formeln berechnen... Aber für genügend große \(n\) (Anzahl der Würfel) und genügend große Wertebereiche für die \(x_i\) ("Augenzahlen" je Würfel) können solche Formeln sehr schnell zu sehr "hässlichen Brummern" werden. Allein für Dein Beispiel müsste eine passende Formel schon \(11^7\) verschiedene Kombinationen "fassen" - das sind annähernd 20 Millionen. Da halte ich 20 Millionen simulierte Zufallswürfe für den pragmatischeren Wert! Hier wird grob erläutert, wie man in Java geeignete Zufallszahlen erzeugen lassen kann. Hilft das weiter? Ich pflege in solchen und ähnlichen Fällen aus schierer Programmierfaulheit eine Tabellenkalkulation zu bemühen - z.B. LibreOffice Calc oder das altbekannte Excel. Auch dort steht eine Funktion "ZUFALLSZAHL()" zur Verfügung, und man kann die eine wesentliche Zeile mit einem "Erfolgszähler" am Zeilenende einfach 10.000 mal oder 50.000 mal etc. untereinander kopieren. Einzelwerte notieren, Tabelle samt Zufallswerten beliebig oft auffrischen, Einzelwerte zusammenzählen und am Ende durch die Anzahl insgesamt berücksichtigter Zeilen teilen... p.s. Mit einer Million simulierter Zufallswürfe komme ich für Dein obiges Beispiel auf eine Wahrscheinlichkeit von knapp 99,75 Prozent (0,997497) - wenn ich mich beim Umrechnen nicht vertan habe.


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densch
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Das funktioniert natürlich auch mit hinreichend großer "Versuchsanzahl". Ich habe es in meinem programm wirklich von hand durchgerechnet, also jedes mögliche Tupel ausprobiert und auf EInhalten der Beidngugn getestet. Und dann eben über simples Counter/Gesamtanzahl die Wahrshceinlichkeit berechnet. Wobei mir was einfiel vorhin wie ich das Ganze vielleicht noch effizienter hinbekomme programmiertechnisch: Sagen wir mal das Tupel (3,4,5,6,7,8,9) würde die Ungleichung erfüllen. Dann muss, weil eben die Bedingung so gestaltet ist und es hergibt, jedes Tupel bei dem ALLE Werte >= denen dieses Vergleichstupels sind, automatisch auch die Bedingung erfüllen ohne dass ich das extra nachrechnen muss. Ob es jetzt die Menge an Zeit spart, 7 Elemente zweier Tupel auf >= zu prüfen. oder einfach den Ausdruck in der Ungleichung auszuwerten. ich weiß es nicht. Brauchen tue ich die einzelnen Tupel ja doch auf die eine oder andere Art. Fraglich wäre auch wenn ich ein Tupel habe bei dem gegenüber dem Vergleichstupel zwar eine Stelle größer ist aber eine andere dafür wieder kleiner. Ob da dann auch die Bedingung erfüllt ist? Vermutlich ist der Gedankengang Zeitverschwendung und die eventuell dadurch eingesparte Zeit/Rechenleistung vernachlässigbar gering.


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densch
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Mein Programm behauptet mal, von insgesamt 19487171 Kombinationen (aka 11^7) erfüllten 19480687 die Bedingung und damit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 99,9667...%. Also passt es schon ziemlich gut mit deinen geschätzten 99,75% zusammen :-)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
AnnaKath
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-30

Huhu zusammen, eine andere Herangehensweise wäre es, den zentralen Grenzwertsatz zu nutzen. Dann erhält man auch eine "Formel". Nennen wir die Zufallsvariablen ("Würfelwürfe") $X_k$ und setzen $Y_k = f(X_k +g)$ sowie $S = Y_1 \cdot \ldots \cdot Y_n$, also $\log S = \sum_k \log Y_k$. Dann ist $Z = \frac{-n\mathbb{E}[\log Y_1] + \sum_k \log Y_k}{\sqrt{n}\mathbb{V}[\log Y_1]}$ für hinreichend grosse $n$* annähernd standardnormalverteilt. Erwartungwert und Varianz des logarithmierten (und transformierten) Würfelwurfs lassen sich leicht bestimmen. lg, AK *) hinreichend gross ist $n$ zum Beispiel dann, wenn kombinatorische Überlegungen "hässliche Brummer" werden.


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