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Universität/Hochschule J Berechnung des Integrals mit der Gauss-Formel
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  Themenstart: 2021-11-28

Ich habe das folgende Problem: >Berechnen Sie das Integral $$\int_{\partial A} \langle (x,y^2,z^3),\nu\rangle dS$$ für $A=\{(x,y,z):-1\leq x,y,z\leq 1\}$ auf zwei verschiedene Arten. Zuerst wollte ich es direkt berechnen, bevor ich die Gauß-Formel benutze, und ich habe die folgenden Berechnungen durchgeführt [1]: https://i.stack.imgur.com/jLIof.jpg Aber irgendwie habe ich ein Problem, denn ich integriere in der ersten Berechnung überhaupt nicht über z. Aber ich sehe meinen Fehler nicht. Könnte sich das mal jemand ansehen, vielleicht sind meine Normalenvektoren falsch? Zusätzliche Bemerkung: Mit der Gaußformel erhalte ich 8 für das Integral. Außerdem bezeichnet $G_{\phi_i}$ die Grammatrix und $g_{\phi_i}$ die Gram-Determinante Herzlichen Dank!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, auf \( A_1\) ist doch \( z=-1\). Dein Ergebnis mit dem Satz von Gauß erscheint auf den ersten Blick nicht richtig (vielleicht irre ich mich auch). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hallo, hmmm ich verstehe das noch nicht ganz. Muss ich denn bei der Funktion auch $z=-1$ setzen? Und zu Gauss: da habe ich es so versucht: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_IMG_F50DC74A4F1D-1.jpeg Stimmt das also nicht? Also ich habs mal normal ausgerechnet und bin auf 0 gekommen, also eines von beiden ist sicherlich falsch, vielleicht auch beide Resultate. Könntest du mir da helfen?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, die Ableitung von \( z^3\) ist \( 3z^2\). Und du hast \( A_1\) doch so parametrisiert, dass \( z=-1\) ist, oder? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hallo Ja das mit dem Parametrisieren ist mein Fehler, genau es sollte -1 sein. Aber wenn ich es nun erneut mit der Gauss Formel berechne erhalte ich 16? dann stimmt auch mein erster Weg noch nicht ganz. Aber ich habe nun folgende Berechnungen gemacht: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_IMG_4841123989CA-1.jpeg Und hätte dann einfach all diese Werte zusammengezählt. wird es denn hier überhaupt das gleiche geben oder ist das ein Beispiel wo man sieht, dass der Satz von Gauss nicht zutrifft weil eine Voraussetzung nicht erfüllt ist?


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Bozzo
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-29

Bei A1 ist z = -1 und nicht z = 1. Bei A2 musst du ueber x und z integrieren, nicht ueber x und y. Wahrscheinlich stecken in den anderen noch aehnliche Fehler drinnen. Der Gauss sieht richtig aus und beim anderen Weg sollte dasselbe herauskommen.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Ah ja dumm, habe die Fehler gefunden und bin nun auch auf 16 gekommen. Vielen Dank! Dürfte ich dich nochmals kurz etwas fragen, denn ich habe mir eine eigene Aufgabe gestellt und bin mir da bezüglich der Integrationsgrenzen unsicher. Alsi ich mchte $$\int_{\partial M} \langle (x^2,y^2,z^2), \nu\rangle dS$$ berechnen wobei $M=\{(x,y,z): x^2+y^2=z^2, 0\leq z\leq 1\}$. Das ist ja ein Umgedrehter Kegel mit Spitze in $(0,0,0)$ der den Grundkreis auf der Ebene $z=1$ hat. Da ja diese Menge Kompakt ist und einen glatten Rand hat, können wir wieder die Gauss regel anwenden hätte ich gesagt. Daher habe ich $$div(F)=2x+2y+2z$$ berechnet. und muss nun also "nur" noch $$\int_M 2x+2y+2z d(x,y,z)$$ berechnen. Doch irgendwie stehe ich bei den Integralgrenzen an. Ich dachte zuerst dass z ja zwischen $x^2+y^2$ und 1 läuft und dann noch dass $0\leq x^2+y^2\leq 1$ aber das scheint mir komisch da ich ja das $z^2$ gar nie benutzt habe. Könntest du mir da weiterhelfen?


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Bozzo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-29

Du kannst z. B. außen von z = 0 bis z = 1 integrieren und innen über die Scheiben Dz = {(x,y) | x2+y2 ≤ z2} in Polarkoordinaten.


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Hallo Vielen Dank für deine Hilfe, kann es sein dass da $\frac{\pi}{2}$ rauskommt, also ich habe beim inneren Integral einfach in Polarkoordinate umgerechnet, dann folgendes erhalten $$2\int_0^{z} \int_0^{2\pi}( r\cos \theta+ r\sin\theta +z) \cdot r \,\,\,\,\,\,\,d\theta dr$$.


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Bozzo
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-29

Ja, passt.


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Ah wow super, wirklich vielen vielen herzlichen dank. Grossartig solche Leute zu haben, die kompetent helfen können!🤗


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