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Teilbarkeit » Kongruenzen » 4^(2n-1)+9^(2n-1) hat die Endziffer 3
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Kein bestimmter Bereich 4^(2n-1)+9^(2n-1) hat die Endziffer 3
paul188
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.03.2019
Mitteilungen: 18
  Themenstart: 2021-11-29

Hallo zusammen ! Ich versuche mich gerade an einer freiwilligen Übungsaufgabe, komme aber nicht wirklich weiter :( Die Aufgabenstellung steht schon im Betreff. Man sollte das mit vollständiger Induktion zeigen. Der Induktionsanfang ist klar. Im Induktionsschritt habe Ich bereits alles versucht. \[ 4^{2n+1} + 9^{2n+1} = 10*a*4^{2n+1} + b*(4^{2n+1}+9^{2n+1})\] zu schreiben haut nicht hin.(Gleichungen nicht lösbar) Genauso wenig \[ 4^{2n+1} + 9^{2n+1} = 10*a*9^{2n+1} + b*(4^{2n+1}+9^{2n+1})\] Und auch mit \[ 4^{2n+1} + 9^{2n+1} = 10*a_1*4^{2n+1} + 10*a_2*9^{n+1} + b*(4^{2n+1}+9^{2n+1})\] komme Ich nicht weiter. Ich habe durch Ausprobieren herausgefunden, dass 4^{2n+1} + 9^{2n+1} als Folge stets durch 13 teilbar sein sollte. Aber keine Ahnung wie Ich das verwenden könnte. Würde mich sehr über jegliche Tipps/Hilfe freuen ! LG Paul


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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-29

Hallo Auf welche Ziffer endet der erste Summand, auf welche Zahl endet der zweite Summand. Gruß Caban


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-29

Hallo, mir ist nicht klar, was du mit deinem Ansatz zeigen möchtest. Um die Endziffer einer Zahl zu bestimmen, kann man diese Modulo 10 betrachten. Kennt ihr die Modulo-Rechnung bereits? Dann ist die Aufgabe schnell erledigt. Eine Rechnung würde dann etwa so aussehen: $4^{2n+1}+9^{2n+1}\equiv 4\cdot 6^n+9\equiv 3$ Wobei du dir eventuell diese Kongruenzen kurz selber überlegen möchtest, und ein paar Details einfügen willst. Kennt man also die Modulo-Rechnung, so braucht man auch keine Induktion. Ansonsten für eine Induktion: Setze einfach ganz normal an. Der Induktionsanfang (für n=0) ist einfach. Jetzt überlege dir den Induktionsschritt ganz normal. Für die Endziffer einer Summe spielen dann nur die jeweiligen Endziffern eine Rolle. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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paul188
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Hey LetsLearnTogether, Vielen Dank für deine Antwort. Auch für deine Caban. Natürlich kann man über die Endziffern gehen, das hatte Ich irgendwie komplett übersehen. Meine Ansätze kommen von einer ähnlichen Aufgabe, die wir hatten, ist aber jetzt nicht mehr wichtig. Wir haben Kongruenzrechnung gerade frisch eingeführt. Also, wie Multiplikation und Addition von Kongurenzen funktioniert. Mir ist leider überhaupt nicht klar, wie du hier auf die Kongruenzen kommst. Wäre super wenn du da noch genauer drauf eingehen könntest. LG Paul


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-29

\quoteon Wir haben Kongruenzrechnung gerade frisch eingeführt. [...] Mir ist leider überhaupt nicht klar, wie du hier auf die Kongruenzen kommst. \quoteoff Wir wollen $4^{2n+1}+9^{2n+1}\mod 10$ betrachten. Die Rechnungen laufen dabei oft gleich ab. Eine Zahl Modulo 10 zu rechnen stellt ja die Frage, welchen Rest diese bei der Ganzzahldivision durch 10 lässt. Etwa ist $16\mod 10=6$, oder $81\mod 10=1$ usw. Jetzt wollen wir also obigen Ausdruck modulo 10 reduzieren. Eine Teilrechnung sieht so aus: $4^{2n+1}=4\cdot 4^{2n}=4\cdot (16)^n\equiv 4\cdot 6^n$. Im letzten Schritt habe ich $16\mod 10$ reduziert. Welche Beobachtung über die Endziffer von $6^n$ kannst du anstellen? (Was ist $6^2$, $6^3$ usw.?) Was ist dann also $4\cdot 6^n\mod 10$, also die Endziffer? Kannst du mit einer analogen Rechnung die Endziffer von $9^{2n+1}$ bestimmen?


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paul188
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Ja, vielen Dank Ich hab alles hinbekommen und verstanden ! \[9^{2n+1} = 9*(9^{2n}) = 9*(81)^n \equiv 9 mod 10\] und die Kongruenzen addieren sich zu 13 kongruent zu 3 mod 10 LG Paul


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-30

Huhu Paul, \quoteon(2021-11-29 21:21 - paul188 im Themenstart) Die Aufgabenstellung steht schon im Betreff. Man sollte das mit vollständiger Induktion zeigen. \quoteoff steht in der Aufgabenstellung nun explizit, dass du eine Induktion machen sollst? Das ist jetzt nicht passiert. Außerdem noch dazu: \quoteon(2021-11-29 22:17 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 4) Welche Beobachtung über die Endziffer von $6^n$ kannst du anstellen? (Was ist $6^2$, $6^3$ usw.?) \quoteoff Eine Beobachtung ist natürlich kein Beweis. Das entsprechende \(6^n \equiv 6\pmod{10}\) müsste also noch bewiesen werden. Hast du das gemacht? Gruß, Küstenkind PS: \(\LaTeX\)-Tipps: Eine Malpunkt schreibst du als \cdot, eine Kongruenz (wie oben gesehen) als \pmod{}.


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paul188
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Hi Kuestenkind, Ja, Ich habe alles hinbekommen. Eine Induktion war explizit verlangt, deswegen habe Ich \(6^n \: \equiv{6}\: \text{mod}\: 10\) und die Aussage für \(9^n\) per Induktion bewiesen und dann alles zusammengerechnet. LG Paul


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Kuestenkind
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-30

Was du mit \(9^n\) per Induktion bewiesen hast sehe ich gerade nicht. Ansonsten denke ich, dass der Aufgabensteller vermutlich eher die Aussage aus dem Themenstart per Induktion bewiesen haben möchte, und nicht nur einen Hilfssatz, den du in einer anderen Beweisform benutzt. Es ginge ja z. B. auch so: Die Aussage aus dem Themenstart ist ja äquivalent zu \(10 \mid 4^{2n-1}+9^{2n-1}-3\). Der IA ist für \(n=1\) schnell nachgerechnet. Im IS kann man denn einfach \(16\cdot 4^{2n-1}+81\cdot 9^{2n-1}-3=16\left(4^{2n-1}+9^{2n-1}-3\right)+5\left(13\cdot 9^{2n-1}+9\right)\) schreiben - und dann müsstest du nur noch argumentieren, dass die zweite Klammer gerade ist. Damit wäre "4^(2n-1)+9^(2n-1) hat die Endziffer 3" per Induktion bewiesen. Gruß, Küstenkind


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paul188
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-09

@Kuestenkind Ich meinte, dass Ich mit Induktion über n gezeigt habe, dass \[9^{2n+1} \equiv 9 mod 10\] für alle n \(\in \mathbb{N}\). Dasselbe in grün für \[6^{n} \equiv 6 mod 10\]. Dann den Tipp von LetsLearnTogether benutzt: \[4^{2n+1} \equiv 4*6^n\] und dann die Kongruenzen addiert. Aber vielen Dank für deine Lösung :) Der Korrektor war mit meiner auch zufrieden, aber die ist auf jeden Fall auch interessant. LG Paul


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