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Mathematik » Stochastik und Statistik » Autokorrelation einer diskreten Zufallsvariable
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Universität/Hochschule Autokorrelation einer diskreten Zufallsvariable
Axerstein
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  Themenstart: 2021-12-02

Einen wunderschönen guten Tag! Bei folgendem Beispiel bin ich mir unsicher, ob ich es richtig gelöst habe: Sei $x_t$ eine diskrete Zufallsvariable, $x_t$ ist entweder 1, -1 oder 0. $\lambda=\mathbb P(x_t=0)$ und $\mathbb P(x_t=1)=\mathbb P(x_t=-1)$. Ich muss zeigen, dass $\mathbb E[x_tx_{t-1}]/\mathbb V[x_{t-1}]=2\gamma-(1-\lambda)$. Dabei ist $\gamma=\mathbb P(x_t=x_{t-1}|x_{t-1}\neq0)$. Ich habe bereits gezeigt, dass $\mathbb E[x_t]=0, \mathbb V[x_{t-1}]=1-\lambda$, also hab ich $$ \frac{\mathbb E[x_tx_{t-1}]}{\mathbb V[x_{t-1}]}=\frac{1\cdot\mathbb P(x_tx_{t-1}=1)-1\cdot\mathbb P(x_tx_{t-1}=-1)+0\cdot\mathbb P(x_tx_{t-1}=0)}{1-\lambda} =\frac{\mathbb P(x_t=x_{t-1}=1 \vee x_t=x_{t-1}=-1)}{1-\lambda} -\frac{\mathbb P((x_t=1\wedge x_{t-1}=-1)\vee(x_t=-1\wedge x_{t-1}=1))}{1-\lambda} =\frac{\mathbb P(x_t=x_{t-1}=1 \vee x_t=x_{t-1}=-1)}{1-\lambda} -\frac{\mathbb P(x_t=1\wedge x_{t-1}=-1)+\mathbb P(x_t=-1\wedge x_{t-1}=1)}{1-\lambda} =\frac{\mathbb P(x_t=x_{t-1}\wedge x_{t-1}\neq0)}{\mathbb P(x_{t-1}\neq0)} -\frac{\mathbb P(x_t=1\wedge x_{t-1}=-1)+\mathbb P(x_t=-1\wedge x_{t-1}=1)}{\mathbb P(x_{t-1}\neq0)} =\mathbb P(x_t=x_{t-1}|x_{t-1}\neq0) -\frac{\mathbb P(x_t=1\wedge x_{t-1}=-1\wedge x_{t-1}\neq0)+\mathbb P(x_t=-1\wedge x_{t-1}=1\wedge x_{t-1}\neq0)}{\mathbb P(x_{t-1}\neq0)}\\ =\gamma -(\mathbb P(x_t=1,x_{t-1}=-1|x_{t-1}\neq0)+ \mathbb P(x_t=1,x_{t-1}=1|x_{t-1}\neq0))\\ =\gamma-(1-\mathbb P(x_t=x_{t-1}|x_{t-1}\neq0)-\mathbb P(x_t=0)) =\gamma-(1-\gamma-\lambda)=2\gamma-(1-\lambda) $$ Habe ich das so richtig gelöst? Lg Axerstein


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Axerstein
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Es würde mich sehr freuen, wenn mir wer helfen könnte🙄


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luis52
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, mit deinen Vorgaben kann man $P(x_t=\pm1)=(1-\lambda)/2$ folgern. Damit kann ich $\mathbb E[x_t]=0$ und $\mathbb V[x_t]=1-\lambda$ nachvollviehen. Aber mir ist unklar, wie du $\mathbb E[x_{t-1}]=0$ und $\mathbb V[x_{t-1}]=1-\lambda$ bestimmst. Du unterstellst anscheinend, dass $x_t$ und $x_{t-1}$ identisch verteilt sind ... Man braucht die gemeinsame Verteilung von $(x_t,x_{t-1})$ um $\mathbb E[x_tx_{t-1}]$ zu bestimmen. Inwieweit man aus der Bedingung $\gamma=\mathbb P(x_t=x_{t-1}\mid x_{t-1}\neq0)$ auf die gemeinsame Verteilung schliessen kann, ueberblicke ich nicht, zumal wenn zugelassen wird, dass $x_t$ und $x_{t-1}$ *nicht* identisch verteilt sind. vg Luis\(\endgroup\)


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Axerstein
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Vielen Dank für die Antwort! $x_t$ ist laut Angabe eine "indicator variable". So wie ich das verstanden habe, handelt es sich um eine Indikatorfunktion, die die Zustände 1, 0 oder -1 annimmt ("normalerweise" ist eine Indikatorfunkntion immer 0 oder 1, zumindest habe ich es so gelernt, aber hier wurde es extra so definiert). Weiters darf ich annehmen, dass $x_t$ ein Markov-Prozess ist, wüsste aber nicht, wie mir das in diesem Fall weiterhilft. Kann ich daraus irgendwie meine gemeinsame Verteilung bestimmen?


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