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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » F_q-lineare Spur
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Universität/Hochschule F_q-lineare Spur
Newmath2012
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  Themenstart: 2021-12-03

Hallo allerseits, ich habe eine längere Verständnisfrage und gebe im Folgenden meine Teilfragen in () an. Für $\alpha \in GF(q^m)=F_{q^m}$, $q$ Primzahlpotenz (also $q=p^r$ für r prim), sei $Tr_{GF(q^m)/GF(q)} (\alpha):= \alpha + \alpha^q + \dotsc + \alpha^{q^{m-1}}$. Dies ist eine $F_q$-lineare Abbildung. ( (1) Was bedeutet "$F_q$-linear"?) Zudem ist $Tr_{GF(q^m)/GF(q)} (\alpha)$ die Spur der Abbildung $f_{\alpha}:F_{q^m}\rightarrow F_{q^m}, f_{\alpha}(x):=\alpha \cdot x$. Der Beweis davon lautet wie folgt: Sei $m_{\alpha}(x)=x^d + a_{d-1}x^{d-1}+\dotsc + a_0$ das Minimalpolynom von $\alpha \in F_{q^m}$ über $F_q$, also $d=[F_q(\alpha):F_q]$ der Erweiterungsgrad der Körpererweiterung $F_q(\alpha)$ über $F_q$ und $d\cdot s = m$. ( (2) Muss so ein $d$ immer ein Teiler von $m$ sein?) Für ein primitives Element $\beta \in F_{q^m}$ ist dann $\{1, \alpha, \dotsc, \alpha^{d-1}, \beta, \beta \cdot \alpha, \dotsc, \beta \cdot \alpha^{d-1}, \dotsc, \beta^{s-1}\cdot \alpha, \dotsc, \beta^{s-1}\cdot \alpha^{d-1}\}$ eine Basis von $F_{q^m}$ über $F_q$. ( (3)Wieso ist das so? Also wieso kann es z.B. sicher nicht passieren, dass $\beta \cdot \alpha = \beta^{s-1}\cdot \alpha^{d-1}$ ist?) Die Matrix von $f_{\alpha}$ bezüglich dieser Basis besteht aus $s$ Blöcken der Form $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & \dotsc & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & \dotsc & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \dotsc & 0 & -a_2 \\ \dotsc & \dotsc & \dotsc & \dotsc & \dotsc & \dotsc \\ 0 & \dotsc & \dotsc & \dotsc & 1 & -a_{d-1} \end{array} \right)$ entlang der Diagonale aufgefädelt und sonst aus lauter Nullen. ( (4) Wieso ist das so? Wie erhält man $f_{\alpha}$ bezüglich der Basis und wie kontrolliert man, dass die Matrix tatsächlich die Abbildungsmatrix ist?) Weiters ist $m_{\alpha} = (x-\alpha)\cdot (x-\alpha ^q) \cdot \dotsc \cdot (x-\alpha^{q^{d-1}})$. ( (5) Wieso? Wieso hat das Minimalpolynom nicht die Form $(x-\alpha)\cdot (x-\alpha^2) \cdot \dotsc \cdot (x-\alpha^{d-1})$?) [... (Der Rest des Beweises ist mir klar.)] (6) Ich hätte in dem Zusammenhang noch eine Frage: Ich weiß, dass wenn p prim ist, immer gilt, $[F_{p^m}:F_p] = m$. Gilt das auch für Primzahlpotenzen q, also gilt auch immer, $[F_{q^m}:F_q] = m$? Und gilt für $q=p^r$ dann $[F_{q^m}:F_p]=r\cdot m$? Danke im Voraus für jegliche Hilfe!


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-03

1) Du kennst den Begriff der $K$-linearen Abbildung (Lineare Algebra 1). Hier ist $K = \IF_q$ (was du manchmal auch als $\mathrm{GF}(q)$ geschrieben hast, es ist besser bei einer Bezeichnung zu bleiben). 2) Ja, das folgt aus dem Gradsatz. 3) Auch das folgt aus dem Beweis des Gradsatzes. Aus einer $\IF_q$-Basis von $\IF_q(\alpha)$, also $\{1,\dotsc,\alpha^{d-1}\}$, und einer $\IF_q(\alpha)$-Basis von $\IF_{q^m}$, nämlich $\{1,\dotsc,\beta^{s-1}\}$, kann man eine $\IF_q$-Basis von $\IF_{q^m}$ erhalten durch Bildung aller Produkte. Schau dir den Beweis des Gradsatzes noch einmal an. 4) Man rechnet es einfach aus und benutzt die Definitionen (von $f_{\alpha}$ und dem Begriff der Darstellungsmatrix). Also zum Beispiel ist $f_{\alpha}(1)=\alpha$ heißt, dass die erste Spalte des ersten Blocks so aussieht wie angegeben, dann kommt $f_{\alpha}(\alpha)=\alpha^2$ usw. 5) Das Minimalpolynom ist identisch mit dem Minimalpolynom des angegebenen Blocks (weil ein Polynom genau dann die Matrix annulliert, wenn es den Block annulliert). Der Block ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\IF_q(\alpha) \to \IF_q(\alpha)$, $x \mapsto \alpha x$. Daraus folgt (mit den Definitionen der beiden Minimalpolynom-Begriffe), dass das Minimalpolynom dieser Matrix mit dem Minimalpolynom von $\alpha$ übereinstimmt. Dieses zerlegt sich in Linearfaktoren, die Nullstellen sind die Konjugierten von $\alpha$, also gerade die $F^i(\alpha)$, wobei $F : x \mapsto x^q$ der Frobenius ist. Es ist $F^i(\alpha) = \alpha^{q^i}$. 6) Ja, $\IF_{q^m}$ hat Grad $m$ über $\IF_q$. Der Grad über $\IF_p$ (das spielt hier aber keine Rolle, $\IF_q$ ist der Grundkörper) ist dann wegen des Gradsatzes $rm$.


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Newmath2012
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-03

Hallo Triceratops, danke für deine Antworten! 1) Also dann bezieht sich das "$F_q$"-linear eigentlich nur auf die Multiplikation mit einem Skalar, dass $Tr(\lambda x) = \lambda Tr(x)$ gilt $\forall \lambda \in F_q, \forall x \in F_{q^m}$? 3) Wieso ist $\{1, \dotsc, \beta^{s-1}\}$ denn eine $F_q(\alpha)$-Basis und keine $F_q$-Basis von $F_{q^m}$? Es wurde doch nur vorausgesetzt, dass $\beta$ primitives Element in $F_{q^m}$ ist? (Und mir ist klar, dass dann eine $F_{q}$-Basis von $F_{q^m}$ eigentlich $m$ Elemente haben müsste.) 4) Das "einfach Ausrechnen" habe ich ja versucht, aber ich komme da nicht auf das Gewünschte. Könntest du das bitte näher ausführen? 5) Ich kenne nur den Minimalpolynom-Begriff für das Minimalpolynom von $\alpha$. Welcher ist denn der zweite, der hier benötigt wird? "Minimalpolynom einer Matrix"?


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Newmath2012
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hallo, meine Frage ist nach wie vor aufrecht und ich bin weiterhin an einer Antwort interessiert, falls sich jemand damit auskennt.


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-06

1) Linearität schließt auch Additivität mit ein. https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_endomorphism 3) Es ist sicherlich ein Erzeugendensystem mit höchstens $s$ Elementen. Der Grad von $\IF_{q^m}$ über $\IF_q(\alpha)$ ist genau $s$. Also muss es sich um eine Basis mit genau $s$ Elementen handeln. 4) Man benutzt wirklich nur die Definitionen, ich habe dir den Anfang gezeigt. Probiere den nächsten Schritt und zeige, wie weit du kommst. Wo hapert es genau? 5) Ja, bzw. das Minimalpolynom einer linearen Abbildung. https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(linear_algebra)


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Newmath2012
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Hallo Triceratops, danke, dass du noch einmal geantwortet hast! 1) Also ist eine Funktion $f: F_{q^m}\rightarrow F_{q^m}$ $F_q$-linear, wenn sie $f(a+b)=f(a)+f(b)$ für alle $a,b \in F_q$, aber nicht zwingend für alle $a,b \in F_{q^m}$, und $f(\lambda a) = \lambda f(a)$ für alle $a \in F_{q^m}$ und alle $\lambda \in F_q$, aber nicht zwingend alle $\lambda \in F_{q^m}$ erfüllt? 3) Okay, hierüber muss ich noch einmal nachdenken. 4) $f_{\alpha} = 1$ muss nach Definition von $f$ gelten, das ist mir noch klar. Aber wieso führt das dazu, dass die erste Spalte so aussieht, wie sie aussieht? Und wie berechnet man dann die folgenden Spalten? Geht man dafür die Basiselemente durch, also für die zweite Spalte setzt man $\alpha$ ein und für die dritte $\alpha^2$ usw.? 5) Danke für den Link! Also das Minimalpolynom einer Matrix wird identifiziert mit dem Vektor der Koeffizienten dieses Polynoms, wobei die Multiplikation des Vektors mit der Matrix einen Nullvektor liefert? Grundsätzlich suchen wir jetzt ein Minimalpolynom für die ganze Matrix und somit ein Polynom von höchstens Grad $s\cdot d$ (weil die Matrix eine $(s\cdot d)\times (s \cdot d)$-Matrix ist und somit mit einem $(s\cdot d)$-Vektor multipliziert wird)? Und es stellt sich dann heraus, dass aber die letzten $s \cdot (d-1)$ Einträge des Vektors 0 sind und deshalb das zugehörige Polynom nur Grad $d$ hat? Aber was du geschrieben hast, dass das Minimalpolynom der Matrix mit dem Minimalpolynom jeden Blocks übereinstimmt, klingt eher so, dass wir von vornherein einen $d\times d$-Vektor suchen? Also das habe ich noch nicht verstanden. Wieso ist das Minimalpolynom der Matrix genau das Minimalpolynom eines Blocks?


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-13

Hallo allerseits, falls es Unklarheiten zu meiner letzten Nachricht gibt, gebt gerne Bescheid. Mich würde es wirklich interessieren, den Fragen, die ich darin gestellt habe, noch auf den Grund gehen zu können. Und falls bislang niemand geantwortet hat, weil eine Antwort zu umfangreich wäre, bin ich auch für Links, unter denen ich Aufschluss über meine Fragen finde, dankbar. LG


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