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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Grenzwertig XIV Adventausgabe
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Kein bestimmter Bereich J ** Grenzwertig XIV Adventausgabe
Squire
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  Themenstart: 2021-12-04

Als Ausgleich für die doch etwas leichteren Adventrätsel ein Zuckerl/Bonbon für die Analysis-Expert/inn/en: Bestimme $\large \lim_{x \to \infty} xe^{x^2} \int_x^{x+\frac{\ln{x}}{x}} e^{-t^2}dt$. Lösungen wie immer mit PN. Viel Freude! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Ruckzuck-Antworten von Kuestenkind shadowking Gratulation! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-11

Weitere richtige Lösungen von Wally 1ntegrat0r MontyPythagoras Gratulation! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-15

Weitere richtige Lösung von Wauzi Gratulation! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-21

Das Rätsel ist noch bis Heiligabend offen; für den Weihnachtsmorgen plane ich die Auflösung. Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-25

Meine Lösung: \showon $\large \lim_{x \to \infty} xe^{x^2} \int_x^{x+\frac{\ln{x}}{x}} e^{-t^2}dt=(u=t-x,du=dt)=$ $\large =\lim_{x \to \infty} x\int_0^{\frac{\ln{x}}{x}} e^{-u^2-2xu}du=(s=xu,ds=xdu)=$ $\large =\lim_{x \to \infty} \int_0^{\ln{x}} e^{-\frac{s^2}{x^2}-2s}ds=$(dominierte Konvergenz)= $\large =\int_0^{\infty} \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{s^2}{x^2}-2s}ds=\int_0^{\infty} e^{-2s}ds=\frac12$ \showoff Weitere Lösungen ab sofort hier willkommen! Frohe Weihnachten! Grüße Squire


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Kuestenkind
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Mitteilungen: 2246
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-26

Huhu, hier ist ist meine Lösung: Wir wenden L'Hospital an. Es geht damit um den Grenzwert: \(\displaystyle \frac{e^{-(x+\log(x)/x)^2}\left(1+\frac{1-\log(x)}{x^2}\right)-e^{-x^2}}{\frac{-e^{-x^2}(2x^2+1)}{x^2}}\) \(\displaystyle =\frac{e^{-2\log(x)-\log^2(x)/x^2}\left(x^2+1-\log(x)\right)-x^2}{-(2x^2+1)}\) \(\displaystyle =\frac{e^{-\log^2(x)/x^2}\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{\log(x)}{x^2}\right)-x^2}{-(2x^2+1)}\) Nun geht das Produkt im Zähler für \(x\to \infty\) offensichtlich gegen \(1\) - und der gesamte Bruch nach Kürzung mit \(x^2\) somit gegen \(\frac{1}{2}\) - was dann der gesuchte Grenzwert ist. Ich wünsche auch noch einen schönen zweiten Weihnachtstag (und bedanke mich für die netten Rätsel)! Gruß, Küstenkind


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