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Universität/Hochschule Globale Existenz von DGLs
Banana
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  Themenstart: 2021-12-06

Hallo an alle, ich habe Probleme bei der Aufgabenstellung: Sei \(f:G\rightarrow \IR^n\) Lipschitz-stetig, wobei \(G\subset\IR^n\) offen ist. Sei \(x_0\in G\) und \(x:(t_-,t_+)\rightarrow G\) die maximale Lösung von \(\dot x =f(x), x(0)=x_0\). Folgt aus der Bedingung \(lim_{t\rightarrow t_+} x(t)=\eta\in G\), dass die Lösung für alle \(t>0\) existiert, also \(t_+=\infty\) ? Ich habe versucht, mir das ganze bildlich vorzustellen und hatte die Vermutung, dass diese Folgerung eigentlich nicht gelten kann. Also habe ich versucht, Gegenbeispiele zu finden, die aber alle nicht hinhauen, sodass ich vermute, dass es doch iwie stimmt. Zum Beweis fehlt mir jedoch jegliche Argumentation, da ich mit den Existenzintervallen sowie den globalen Lösungen nicht richtig vertraut bin. Könnte mir jemand einen Ansatz liefern und Hilfestellung geben ? Würde mich sehr freuen :-)


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-06

Hallo Banana, kennst du den Satz, dass die Lösungskurven jede kompakte Menge verlassen? Viele Grüße Wally


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Banana
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Hallo Wally, dankeschön, dass du so schnell geantwortet hast. Der Satz sagt mir leider nichts. Wir haben nur einmal etwas mit Niveaumengen und Jordankurven argumentiert. Das war dann auch ein Gedanke, aber das hat mich nicht weitergebracht :/


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Den Satz formuliert man auch so, dass Lösungen "von Rand zu Rand" laufen. Vielleicht sollst du gerade das beweisen. Wenn \( t_+\) endlich ist, dann kannst du wieder ein AWP mit \( x(t_+)=\eta\) lösen. Und dann? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Banana
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Okay, da \(\eta\in G\) muss ja \(f\) Lipschitz-stetig sein in \(\eta\). Nach Picard-Lindelöff müsste ja ein \(\delta >0\) existieren, sodass \(x\) auf \([t_+ -\delta,t_+ +\delta]\) eine eindeutige Lösung hat. Müsste man das ganze dann immer weiter wiederholen und fortführen, sodass schlussendlich \(t_+=\infty\) ? Oder bin ich da auf dem Holzweg ?


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ne, das braucht man nicht zu wiederholen. Es reicht doch, dass ein endliches \( t_+\) zu einem Widerspruch führt. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Banana
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

D.h. meine erste Argumentation wäre entscheidend und diese Wiederholung des Verfahrens wäre unnötig ?


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Klar. Wenn \( t_+\) nicht endlich ist, bleibt nur noch eine Möglichkeit :) Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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