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Mathematik » Zahlentheorie » Kardinalität der Kreisteilungsklassen modulo einer Primzahl
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Universität/Hochschule J Kardinalität der Kreisteilungsklassen modulo einer Primzahl
Newmath2012
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  Themenstart: 2021-12-08

Hallo, also ich hätte eine Frage zu einer Tatsache, die mir als "wohlbekannt" untergekommen ist, aber ich nicht nachvollziehen kann und mir nicht bekannt war: seien n, q teilerfremd, dann ist die i-te Kreisteilungsklasse von $q$ modulo $n$ definiert als $C_i:=\{iq^j \in Z_n: j = 0, 1, \dotsc\}$. Allgemein gilt nicht, dass $|C_i|=|C_j|\forall i,j \neq 0$ ist (man betrachte z.B. die Kreisteilungsklassen von 2 modulo 15), aber im Spezialfall, dass n prim ist, gilt "wohlbekannterweise": $|C_i|=|C_1| \forall i \neq 0$. Ich sehe leider nicht, warum das so sein muss???


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ollie3
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-09

Hallo, das liegt daran, das wenn man das i verändert, kann man die Elemente iq^j bijektiv aufeinander abbilden, sodass die Anzahl gleich bleibt. Wenn n jedoch nicht prim ist, ist der Ring Z_n nicht mehr nullteilerfrei, und dann funktioniert das nicht mehr...


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Newmath2012
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-13

Hallo ollie3, danke für deine Antwort! Ich verstehe, dass die Mächtigkeiten gleich sein müssen, wenn es eine solche Bijektion gibt. Kannst du aber vielleicht erklären, wie man sieht, dass es diese Bijektion genau dann, wenn n prim ist, gibt? Oder hat dieses Resultat einen Namen, unter dem ich nach einem Beweis suchen kann?


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ollie3
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-13

Hallo, wenn man alle Elemente aus Z_n mit einer festen Zahl durchmultipliziert, wird man genau dann n verschiedene Ergebnisse haben, wenn n prim ist, denn wenn man z.b a*c=b*c hätte, folgt daraus (a-b)*c=0, und das geht nur, wenn n nicht prim und Z_n nicht nullteilerfrei ist. So einfach ist das.


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Newmath2012
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-15

Ah jetzt verstehe ich das! Danke für deine Erklärung, ollie3! :)


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