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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Bessel-Funktion und Potenzreihendarstellung
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Universität/Hochschule Bessel-Funktion und Potenzreihendarstellung
Fluadl
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  Themenstart: 2021-12-13

Grüße! Ich hätte zu Bessel-Funktion folgende Aufgabe gegeben: Die Bessel-Funktion sei gegeben durch $J_n(z) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cos(zsin(t) - nt) \,dt$ Zeigen Sie die Potenzreihendarstellung $J_n(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}(\frac{z}{2})^{(n+2m)}$ Weiters hatte ich in einem Vorherigen Unterpunkt, den ich bereits erledigt habe, folgende Differentialgleichung gegeben: $z^2J''_n(z) + zJ'_n(z)+(z^2+n^2)J_n(z) = 0$ Ich habe bereits etliches probiert, wobei ich mich am Längsten an der Taylorentwicklung am Nullpunkt versucht hatte. Bisher jedoch ohne Erfolg. Am meisten störe das $-nt$ von $(zsin(t)-nt)$ im cosinus. Hätte jemand eine Idee wie ich das besser angehen könnte oder bin ich mit der Taylorentwicklung schon auf dem richtigen Weg? MfG Fluadl


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-13

Hallo Fluadl, versuche, die Besselfunktion als Potenzreihe anzusetzen und die Darstellung aus der Dgl. herzuleiten. Viele Grüße Wally


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Fluadl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-14

Hallo Wally! Danke für deine Antwort! Würde dies wirklich equivalenz zeigen? Dann könnte man ja genauso gut die Potenzreihe in die DGL einsetzen und nachprüfen ob diese die erfüllt oder irre ich mich da? MfG Fluadl


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Wally
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Das sollte gehen. Bei der Dgl. musst du beachten, dass die schwach singulär ist und die Indexgleichung nachrechnen. Danach siehst du durch Einsetzen, dass die Potenzreihe eine Lösung ist. Da die andere Lösung in einem Fundamentalsystem mit \( z^{-n}\) beginnen muss, ist das bis auf einen Faktor eindeutig. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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