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Universität/Hochschule Problem 2
Eckard
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-10-28





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galexy
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-10-30


Hallo Leute,

Ich habe zwar keine brauchbare Zeichnung hinbekommen (weil ich die äußeren Tangenten zweier Kreise mit dem fed nicht hinbekomm), aber ich habe schon eine Vermutung.

Und zwar vermute ich, dass A,B,P,Q auf einem Kreis liegen, was äquivalent ist zu:

Das Viereck APQB ist ein Sehnenviereck.

was wiederrum  mit der Aussage:

gegenüberliegende Winkel in APQB ergänzen sich zu 180°

äquivalent wäre.

Ich mach mich mal an die Winkel geschichten

Alex



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isotomion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.08.2004
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2004-10-30


Danke Eckard!

Und ja, Alex, deine Vermutung stimmt.

Da die Konfiguration, bestehend aus den Kreisen k1 und k2 und ihren gemeinsamen Tangenten t1 und t2, symmetrisch bezüglich der Zentralen der Kreise k1 und k2 ist, ist das Viereck ABDC ein gleichschenkliges Trapez (mit AC || BD und AB = CD), also ein Sehnenviereck. Das heißt, die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis.

Der Punkt M ist als Mittelpunkt der Strecke AB auch der Mittelpunkt des Thaleskreises t über dieser Strecke. Der Radius dieses Thaleskreises t ist natürlich MA = MB. Andererseits ist nach dem Sekanten-Tangentensatz MC * MP = MA2 und MD * MQ = MB2. Aus diesen Gleichungen folgt, daß die Punkte C und D bei der Inversion an t jeweils in die Punkte P bzw. Q übergehen. Die Punkte A und B bleiben bei dieser Inversion natürlich erhalten (weil sie auf dem Inversionskreis liegen). Wegen der Kreistreue der Inversion können wir nun aus dem Resultat, daß die Punkte A, B, C und D auf einem Kreis liegen, folgern, daß die Punkte A, B, P und Q es ebenfalls tun.

Weitere besondere Eigenschaften sehe ich auf Anhieb nicht ;-)

  Darij



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Sunny
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2004
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2004-10-30


hi all!

 Weil die 4 Punkte A,B,Q,P nicht auf einer Geraden liegen, deshalb müssen sie immer auf einem bestimmten Kreis........   und ich denke es ist nicht die besondere Eigenschaft, hier gemeint wird.

Sunny



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Pebbe
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2004
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2004-10-30


Doch.

DREI (nicht-kollineare) Punkte liegen immer auf einem gemeinsamen Kreis, der durch sie definiert wird.
Bei VIER Punkten ist das schon ein bemerkenswertes Ereignis.

Die Lösung von Darij finde ich sehr schön, ich denke wir können das Problem als gelöst betrachten.



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galexy
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.01.2004
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2004-10-31


@sunny

ich will dich ja nicht desillusionieren, aber Vier Punkte liegen im allgemeinen nicht auf einem Kreis. betrachte zum Beispiel die Eckpunkte eines NICHT rechtwinkligen Drachen

@isotomion

Wenn das mit der Inversion stimmt, dann sehr elegant. Ich verstehe aber nicht allzu vie von Inversion... muss mich noch mal ein bissel kein vertiefen. vielleicht klappts ja ^^

Gruß Alex




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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2004-10-31


Die Punkte C, D, P und Q liegen übrigens auch auf einem Kreis...

Und die Geraden AB, CD und PQ schneiden sich in einem Punkt (wenn sie nicht parallel sind)...

  Darij

-----------------
Die Summe der Minima ist kleiner oder gleich dem Minimum der Summe.
(Arthur Engel)
[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 31.10.2004 10:35:17 ]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2004-10-31


Dann will ich mal noch ein Bild beisteuern:
Bild
Da lassen sich wohl noch einige Beziehungen finden:
das kleine blaue Dreieck und das gesamte balue Dreieck (dto. für die Grünen) sind ähnlich (durch die Winkel angedeutet).
1/4



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2004-11-01


Danke für die schöne Zeichnung. Ja, da sind wegen den ganzen Umfangs- und Sehnentangentenwinkeln nicht wenige ähnliche Dreiecke zu finden. Und für den Schnittpunkt S der Geraden t1, t2 und PQ gilt SA * SB = SC * SD = SP * SQ.

  Grüße,
  Darij



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2004-11-01


Hi Team,
ich schlage vor, isotomions Lösung als Antwort des Teams zu nehmen.
Sie stimmt mit der Lösung, die ich auch gefunden habe, überein.

Ich habe noch festgestellt, daß diese Inversion fünf von den sechs Kreisen / Geraden, die interessant sind, in sich überführt, nämlich die zwei gegebenen Kreise und die drei Geraden durch M.

Der Umkreis des gleichschenkligen Trapezes ABCD (das sechste interessante Objekt) geht nicht durch M, also ist sein Bild ein Kreis (und keine Gerade).

Die erste Bemerkung ist für die Lösung nicht weiter wichtig, isotomion hat sich auf das Wesentliche beschränkt.
Gruß Buri


[ Nachricht wurde editiert von Buri am 02.11.2004 08:40:04 ]



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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07





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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07


Das ist eindeutig Darijs Punkt! Es kürzer als mit Inversion zu zeigen, geht wohl kaum. Deswegen gehören euch die drei Punkte. Glückwunsch!

Gruß Eckard



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2004-11-07


Ganz kleine Korrektur zu Eckards Lösung: Das Trapez ist nicht ABCD, sondern ABDC.

  Grüße,
  Darij



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