Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Lineare Abbildung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Lineare Abbildung
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2001-12-25


Hallihallo

Weiß zufällig einer warum es nur eine lineare
Abbildung f von einem zweidimensionalen auf
einen dreidimensionalen Vektorraum geben kann,wenn f(2,1) = (1,2,3) und f(1,2) = (3,2,1)
ist?
Und was der Kern davon ist?

Danke im Voraus!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14365
Wohnort: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2001-12-27


Der tiefere Grund ist, daß eine lineare Abbildung von V nach W eindeutig festgelegt ist, wenn man für eine Basis von V die Bilder in W festlegt. Und (1,2), (2,1) ist eine Basis von V=IR².

Die gleiche Aussage ist auch in verschiedenen Dimensionsformeln auszudrücken.

1. Für eine lineare Abbildung f:V->W gilt:

      dim(f(V))<=dim(V)

2. dim(V) = dim(ker(f))+dim(Im(f))



Formel 1. sagt, daß die Dimension eines Vektorraums durch lineares Abbilden nicht größer werden kann. Die Dimension des Bildes Deiner Abbildung kann höchsten 2 sein. Und da die beiden Bildvektoren linear unabhängig sind, ist die eben gleich zwei.



Formel 2. sagt etwas zu Deiner nächsten Aufgabe. Der Kern einer linearen Abbildung ist also der 'fehlende Rest aus V'.

Der Kern ist ja definiert als die Menge aller veV mit f(v) = 0.



Nun könnte man eine Darstellungsmatrix A des Homomorphismus f bestimmen und dann A*v = 0 lösen. Die Lösungsmenge ist der Kern.



Aber weil der Kern der 'Rest aus V' ist, kann man es sich kürzer überlegen.

Wenn dim(Im(f))=2 und dim(V)=2, dann muß dim(ker(f))=0 sein. Also ist ker(f) der Nullvektorraum.



Gruß

Matroid



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]