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Universität/Hochschule J Existenz eines Integrals
munu
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  Themenstart: 2022-01-13 12:32

Liebe Forumsmitglieder könnt ihr mir nochmal aus der Patsche helfen? Ich versteh wieder etwas nicht. Es geht um ein Skalarprodukt, das wir auf dem Vektorraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen definieren. Es wird wie folgt definiert: \( := \iint_D f \overline{g} \, dx \, dy\) Nun wird behauptet das Integral existiert, da gilt \(|f(z) \overline{g(z)}| \le \frac{1}{2}(|f(z)|^2+|g(z)|^2)\) Warum reicht das um die Existenz des Integrals zu zeigen? geht es hier um die Beschränktheit? Also sobald f und g für alle z aus D beschränkt sind und da die Funktionen holomorph und somit stetig sind existiert das Integral? Ist das die Argumentation?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-13 12:45

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $|f|^2$ und $|g|^2$ sind nach Voraussetzung integrierbar. LG Nico P.S. In LaTeX bekommst du $\langle f,g\rangle$ durch \langle f,g\rangle.\(\endgroup\)


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munu
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-13 13:09

Hallo Nico danke für deine schnelle Antwort Also da mein Term kleiner ist als \(|f|^2+|g|^2\) ist er dann integrierbar? Also geht es hier um die Endlichkeit? Danke für den LaTeX-Tipp


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-13 13:29

\quoteon(2022-01-13 13:09 - munu in Beitrag No. 2) Also geht es hier um die Endlichkeit? \quoteoff Schlage nach, was Integrierbarkeit bedeutet, dann kannst du dir die Frage sicher selbst beantworten.


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munu
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-13 13:45

\quoteon Schlage nach, was Integrierbarkeit bedeutet, dann kannst du dir die Frage sicher selbst beantworten. \quoteoff Ich dachte Stetigkeit reicht für Integrierbarkeit und die wäre ja sowieso gegeben da f und g holomorph


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-13 14:07

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-01-13 13:45 - munu in Beitrag No. 4) \quoteon Schlage nach, was Integrierbarkeit bedeutet, dann kannst du dir die Frage sicher selbst beantworten. \quoteoff Ich dachte Stetigkeit reicht für Integrierbarkeit und die wäre ja sowieso gegeben da f und g holomorph \quoteoff Stetigkeit alleine reicht nicht. $x\mapsto \frac 1x$ ist stetig auf $(1,\infty)$, aber $$ \int_1^\infty \frac 1x \d x $$ existiert nicht. Folge Kezer's Tipp. LG Nico\(\endgroup\)


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munu
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-13 14:55

Ok es geht also darum, dass mir der Grenzwert nicht ins Unendliche abhaut. Hatte ich ja schon vermutet aber so ganz klar hatte ich es noch nicht. Danke für eure geduldigen Antworten.


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-13 16:45

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline}\) Bitte lese doch einfach mal die Definition. Das Integral $\int_0^{\infty} \sin{x} \ \dd x$ existiert nicht, es ist aber auch nicht $\pm \infty$.\(\endgroup\)


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munu
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-13 19:39

"Eine Lösung existiert nur, wenn die Stammfunktion gegen den betrachteten Wert einen endlichen Grenzwert besitzt." In dem Fall sin x existiert der Grenzwert nicht, im Falle 1/x ist er nicht endlich. So?


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Kezer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-14 08:15

Aus welcher Quelle ist das? \quoteon(2022-01-13 13:29 - Kezer in Beitrag No. 3) Schlage nach, was Integrierbarkeit bedeutet, dann kannst du dir die Frage sicher selbst beantworten. \quoteoff Wieso tust du das nicht? Du musst nur ein Buch zur Maßtheorie heraussuchen, die Definition lesen und alle Fragen sind geklärt... Ich verstehe gerade echt nicht, wieso du das nicht tun möchtest. Du kannst ja gar nicht mit integrierbaren Funktionen arbeiten, wenn du nicht weißt, was es überhaupt bedeutet.


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munu
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 13:11

Weil ich kein Buch zur Maßtheorie zur Hand hatte und ich das genommen hab was mir das Internet ausgespruckt hat. Aber das mit der Maßtheorie war ja schonmal ein Hinweis. \(Eine \, Funktion f : Ω → R\, heißt \, integrierbar, falls f ∈ L^1\) und \(L^1 := L^1(Ω, Σ, μ) := \{f : Ω → R \, messbar: ∫ f^ +dμ < ∞, ∫ f ^−dμ < ∞\}\) Aber grundsätzlich wollte ich jetzt eigentlich nicht so tief in die Maßtheorie eindringen da dies nicht mein ursprüngliches Thema ist und andere Sachen dringlicher sind und deshalb hatte ich darauf gehofft es gäbe eine "einfache" Erklärung.


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nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-14 16:41

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die "einfache Erklärung" gibt es auch. Die von dir angegebene Definition ist offenbar ($|f|=f^++f^-$) äquivalent dazu, dass $$ \int_\Omega |f| \d \mu <\infty $$ gilt. Bei deiner Frage bekommt man diese Tatsache eben durch die von dir angegebene Abschätzung und der Quadratintegrierbarkeit von $f$ und $g$: $$ \int_D |f\overline g| \d \mu \leq \frac 12 \underbrace{\int_D |f|^2 \d \mu}_{<\,\infty} + \frac 12 \underbrace{\int_D |g|^2 \d \mu}_{<\,\infty}<\infty. $$ Nur wenn du die Definition des Begriffes "Integrierbarkeit" nicht kennst, dann scheitert jede noch so "einfache" Erklärung schon daran, dass du gar nicht weißt was zu zeigen ist. LG Nico\(\endgroup\)


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munu
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 22:44

Danke Nico.


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munu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
munu hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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