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Universität/Hochschule Lokale Ringe: Z/nZ
RaffeJos
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  Themenstart: 2022-01-14

Hallo zusammen. Ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe für Algebra, in der es um lokale Ringe geht. Ich habe bereits bewiesen: R besitzt eindeutiges maximales Ideal <=> R\R^* ein Ideal (wobei R^* die Einheiten in R sind) Nun muss ich folgendes machen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54892_1.jpg Meine Behauptung ist, dass dies nur für eine Primzahl-Potenz p^n gilt. Ich muss also irgendwie zeigen, dass die Nichteinheiten dann ein Ideal bilden. Eine Einheit a erfüllt ja in diesem fall ggT(a, p^n)=1. Aber wie kann ich dies allgemein zeigen? Ich blicke da leider noch nicht ganz durch. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen:)


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-14

Überlege dir, dass es eine Bijektion zwischen den Idealen von $\IZ/n\IZ$ und den Teilern von $n$ gibt. Dabei wird $\supseteq$ (umgekehrte Inklusion) gerade in $\mid$ (Teilbarkeit) umgewandelt. Die maximalen Ideale entsprechen dabei folglich den Primteilern von $n$. Genau ein maximales Ideal zu haben, bedeutet also dass $n$ genau einen Primteiler hat.


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RaffeJos
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14

Erst einmal vielen Dank für den Tipp. D.h. ich betrachte folgende Abbildung: f: { I | I Ideal in \IZ mod n \IZ } -> { a\el\ \IN | a |(teilt) n } Leider kann ich nicht nachvollziehen, warum diese bijektiv ist und die Begründung mit der Teilbarkeit ist mir nicht klar.


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, allgemein gilt: Ist $R$ ein Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal und $\pi:R\to R/I$ die natürliche Projektion, dann definiert die Abbildungsvorschrift $J\mapsto \pi^{-1}(J)$ eine Bijektion zwischen den Idealen $J\subseteq R/I$ und den Idealen von $R$, die $I$ enthalten. \(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-14

@RaffeJos: Du hast keine Abbildung definiert. Insbesondere kannst du nicht nachweisen, ob sie bijektiv ist oder nicht. Du musst für jeden Teiler $m \mid n$ ein Ideal von $\IZ / n\IZ$ angeben. Es gibt nur eine sinnvolle Wahl.


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juergenX
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-15

\quoteon(2022-01-14 13:03 - Triceratops in Beitrag No. 1) Überlege dir, dass es eine Bijektion zwischen den Idealen von $\IZ/n\IZ$ und den Teilern von $n$ gibt. Dabei wird $\supseteq$ (umgekehrte Inklusion) gerade in $\mid$ (Teilbarkeit) umgewandelt. Die maximalen Ideale entsprechen dabei folglich den Primteilern von $n$. Genau ein maximales Ideal zu haben, bedeutet also dass $n$ genau einen Primteiler hat. \quoteoff (Mehr) zu meinem eigene Verständnis: Mal als Beispiel nehem wir alle möglichen Ideale, die $\displaystyle \supset Z/(12)$ sind , als da sind $\displaystyle Z/(1) = Z$, $\displaystyle Z/(2)$, $\displaystyle Z/(3)$, $\displaystyle Z/(4)$, $\displaystyle Z/(6)$, $\displaystyle Z/(12)$, wobei nur $\displaystyle Z/(1)$, $\displaystyle Z/(2)$, $\displaystyle Z/(3)$ Primideale in $\displaystyle Z$, und $\displaystyle (1,2,3)$ Primteiler von $\displaystyle Z$ sind. aber $\displaystyle Z/(4)$ und $\displaystyle Z/(6)$ sind keine Primdieale und keine Maximalideale. Auf der einen Seite haben wir die Teilmengenbeziehung der Zahlen $(1,2,3,4,6,12)$, und auf der anderen die Größe der Ideale. Diese steht in umgekehrten Verhältnis wie die Teilbarkeiteigenschaft. Also existiert eine Bijektion zwische Primzahlzerlegung der Teiler von 12 und andererseits teilmengenbeziehung der erzeugenden Ideale, wobei Primideale nach PrimZahlen abgebidet werden und umgekehrt. Wir haben eine Bijektion, wenn $\displaystyle a\mid b \Leftrightarrow (\mathcal(b) \subseteq \mathcal (a)$, die in ein Richtung Teilbarkeit und in der anderen eine Conclusion repräsentieren. Ich hoffe, das ist formal richtig.


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-15

@juergenX: Das sind keine Ideale. @RaffeJos: Ich sende dir hierzu eine private Nachricht.


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RaffeJos
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Ich hab mich übers WE damit beschäftigt und denke, dass ich eine Lösung habe. n=0: (\({\IZ}\) / 0 \({\IZ}\)) isomorph zu \({\IZ}\). Aber \({\IZ}\) ist nicht lokal weil {+1, -1} Einheiten in \({\IZ}\) sind. n=1: In dem Fall wäre es der Nullring, trivialerweise nicht lokal. n\(\ge\)2: Die Einheiten von \({\IZ}\) / n \({\IZ}\) sind alle m\(\in\) {0,1,....,n-1} mit ggT(m,n)=1 nach bereits gehörten Vorlesungen. Ich habe dann gezeigt, dass zwei Primzahlen, die n teilen, nicht in dem Ideal (\({\IZ}\) / n \({\IZ}\)) \ (\({\IZ}\) / n \({\IZ})^*\) liegen kann, da nach dem Lemma von Bezout die 1 auch in dem Ideal liegen würde. Das ist aber ein Widerspruch, weil die 1 in (\({\IZ}\) / n \({\IZ}\)) eine Einheit ist. Also habe ich als nächstes angenommen, dass n eine Primzahlpotenz ist, also n = \(p^k\). Dann habe ich gezeigt, dass in dem Fall (\({\IZ}\) / n \({\IZ}\)) \ (\({\IZ}\) / n \({\IZ})^*\) = (p) (das von p erzeugte Ideal) wirklich ein Ideal ist. Die Eigenschaften zu zeigen ist in dem Fall nicht schwierig (Ideal nicht-leer, Abgeschlossen unter Addition, Abgeschlossen bzgl. Elementen aus dem Ring). Insgesamt ist also gezeigt, dass wenn n=\(p^k\) ist, (\({\IZ}\) / n \({\IZ}\)) lokal ist. Vielleicht kann einer von euch das nachvollziehen. Trotzdem Danke für eure Hilfe!


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juergenX
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-15 23:25 - Triceratops in Beitrag No. 6) @juergenX: Das sind keine Ideale. \quoteoff JA stimmt.. $\displaystyle (1),(2),(3),,(4)...$ sind Ideale. $\displaystyle Z /(n)$ sind Quotientenringe und sogar Körper, wenn n prim ist. Wenn n compsite ist,so ist $\displaystyle (n)$ kein maximalideal. ich bin immer unsicher was der Unterschied zwischen $\displaystyle Z /(n)$ und $\displaystyle Z /(nZ)$ ist. Und ob $\displaystyle i \in Z[x] /(x^2+1)$ ist.


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