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Lineare Algebra » Vektorräume » Bestimmen einer Basis mit Polynomen dritten Grades
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Universität/Hochschule J Bestimmen einer Basis mit Polynomen dritten Grades
Felix77777
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  Themenstart: 2022-01-14 17:10

Hi alle! Nachdem es hier im Forum immer so gute Erklärungen für alle möglichen Aufgaben gibt, wollte ich fragen, ob mir eventuell wer bei dem folgenden Beispiel weiterhelfen könnte: Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 mit Koeffizienten a_i aus \IR bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über \IR. Bestimmen Sie eine Basis dieses Vektorraums, die nur Polynome dritten Grades enthält. Den ersten Schritt, das zeigen des Vektorraums, habe ich einfach gezeigt, indem ich ein Polynom A mit einem Polynom B allgemein addiert habe, auch die Multiplikation mit einem Skalar hab ich einfach allgemein durchgeführt. Dass (R, +) eine abelsche Gruppe ist, hatten wir schon öfter gezeigt, und die anderen Bedingungen für einen Vektorraum sollten auch klar sein. Schwerer tu ich mir mit der Basis: Ich käme auf Basis B = {x^3 + x^2 + x + 1, x^3 + x^2 + x, x^3 + x^2, x^3 } Aber irgendwie kann ich das nicht so ganz glauben... ist das überhaupt eine "Basis"? Ich mein, linear unabhängig wären die 4 Terme glaub ich, aber ist nicht x^3 redundant, weil ich das ja mit x^3 + x^2 darstellen könnte? Ich glaub ich hab irgendwie einen Hänger... würd mich über Hilfe sehr freuen! Danke & LG! :)


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-14 17:33

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Deine Andeutungen, wie du nachgewiesen hast, dass es ein Vektorraum ist, hören sich schonmal gut an. Auch deine Basis ist richtig (und die Polynome damit natürlich linear unabhängig). Um auf deine Frage einzugehen: \quoteon(2022-01-14 17:10 - Felix77777 im Themenstart) Schwerer tu ich mir mit der Basis: Ich käme auf Basis B = {x^3 + x^2 + x + 1, x^3 + x^2 + x, x^3 + x^2, x^3 } Aber irgendwie kann ich das nicht so ganz glauben... ist das überhaupt eine "Basis"? Ich mein, linear unabhängig wären die 4 Terme glaub ich, aber ist nicht x^3 redundant, weil ich das ja mit x^3 + x^2 darstellen könnte? Ich glaub ich hab irgendwie einen Hänger... würd mich über Hilfe sehr freuen! \quoteoff Mache dir klar, dass man jedes Polynom 3. Ordnung als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen kann. Finde also die Linearkombination zum Polynom \(ax^3+bx^2+cx+d\). Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-14 17:47

\quoteon(2022-01-14 17:10 - Felix77777 im Themenstart) Ich mein, linear unabhängig wären die 4 Terme glaub ich, aber ist nicht x^3 redundant, weil ich das ja mit x^3 + x^2 darstellen könnte? \quoteoff Es kann nicht sein, dass ein Erzeugendensystem linear unabhängig ist und gleichzeitig einer der Vektoren sich aus den anderen darstellen lässt. Das ist im Prinzip die Definition von linearer Unabhängigkeit.


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Felix77777
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 17:52

Danke erstmal für die superschnellen Antworten! Vielleicht kurz dazu, wie ich auf meine Basis gekommen bin: In meinem Skript wird dafür die Halbdiagonalmatrix verwendet, um linear unabhängige Spaltenvektoren zu finden. Nachdem ich einen Vektor der Dimension 4 habe (wenn ich das soweit richtig verstanden habe), würde der Vektor so aussehen: (1,0,0,0;1,1,0,0;1,1,1,0;1,1,1,1;) Wobei ich mir dachte, dass die erste Zeile quasi x^0, die zweite x^2 etc. entspricht. Bezüglich der Linearkombination für a x^3 + b x^2+ cx+ d : Mir war noch unklar, warum ich nicht mit der Basis (x^3 + x^2 + x + 1) den ganzen Vektorraum aufspanne. Aber so wie ich das jetzt verstehe, darf ich ja nur "skalare" Vielfache von der Basis bilden, also wäre z.B. 2 * (x^3 + x^2 + x + 1) schon enthalten, aber 2*x^3 + 1*x^2 + 4x + 3 noch nicht. Habe ich das jetzt richtig verstanden? Oder mich noch mehr verwirrt? Danke schon vielmals für die Hilfe!! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-14 17:59

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das Polynom \(x^3+x^2+x+1\) ist hier keine Basis, sondern ein einzelner Vektor deines Vektorraums. Du kannst es zum besseren Verständnis mit dem Spaltenvektor \((1,1,1,1)^T\) des \(\IR^4\) identifizieren. (Wobei es immer besser ist, auf diese Analogien zu Vektorräumen der Form \(\IR^n\) zu verzichten und sich auf das zu konzentrieren, was man vorliegen hat.) Hilft das schon zum besseren Verständnis? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Felix77777
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 18:29

\quoteon(2022-01-14 17:59 - Diophant in Beitrag No. 4) Hallo, das Polynom \(x^3+x^2+x+1\) ist hier keine Basis, sondern ein einzelner Vektor deines Vektorraums. Du kannst es zum besseren Verständnis mit dem Spaltenvektor \((1,1,1,1)^T\) des \(\IR^4\) identifizieren. (Wobei es immer besser ist, auf diese Analogien zu Vektorräumen der Form \(\IR^n\) zu verzichten und sich auf das zu konzentrieren, was man vorliegen hat.) Hilft das schon zum besseren Verständnis? Gruß, Diophant \quoteoff Hallo Diophant, Ich fürchte, dann hab ich da doch etwas durcheinander gebracht.. was mich ein wenig verwirrt ist, dass wenn (x^3 + x^2 + x + 1) zu meiner Basis gehört, ich nicht mithilfe dieses (Basis-)vektors alle anderen Vektoren ausdrücken kann... darum hatte ich vorhin dieses Beispiel gebracht. Ich hoffe, es ist halbwegs verständlich, was ich meine! Danke vielmals jedenfalls für die bisherigen Antworten & für die Geduld!!


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-14 18:37

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-14 18:29 - Felix77777 in Beitrag No. 5) ...was mich ein wenig verwirrt ist, dass wenn (x^3 + x^2 + x + 1) zu meiner Basis gehört, ich nicht mithilfe dieses (Basis-)vektors alle anderen Vektoren ausdrücken kann... \quoteoff Warum denn nicht? Gehe so vor: drücke erst eine beliebige Konstante durch eine Linearkombination deiner Basis aus. Dann ein Polynom 1. Ordnung. Dann eines zweiter Ordnung und zum Schluss eines dritter Ordnung. Oder finde Koeffizienten A, B, C und D so, dass die Summe \[\ba &A\cdot(x^3+x^2+x+1)\\ \\ +&B\cdot(x^3+x^2+x)\\ \\ +&C\cdot(x^3+x^2)\\ \\ +&D\cdot x^3 \ea\] das Polynom \(ax^3+bx^2+cx+d\) ergibt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Felix77777
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 18:52

Jetzt hab ich's verstanden, glaube ich! ...und um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, folgt, wenn ich den Null-"Vektor" erhalten möchte, A = B = C = D = 0 , verstehe ich das richtig? Vielen Dank, nach stundenlangem Überlegen wird das grad sehr viel klarer :)


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-14 18:58

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-14 18:52 - Felix77777 in Beitrag No. 7) Jetzt hab ich's verstanden, glaube ich! \quoteoff Zur Kontrolle: \[\ba ax^3+bx^2+cx+d&=d\cdot(x^3+x^2+x+1)\\ \\ &+(c-d)\cdot(x^3+x^2+x)\\ \\ &+(b-c)\cdot(x^3+x^2)\\ \\ &+(a-b)\cdot x^3 \ea\] \quoteon(2022-01-14 18:52 - Felix77777 in Beitrag No. 7) ...und um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, folgt, wenn ich den Null-"Vektor" erhalten möchte, A = B = C = D = 0 , verstehe ich das richtig? \quoteoff Ja, genau. Das lässt sich ja leicht nachrechnen. Und beachte, dass ich ganz ohne Spaltenvektoren ausgekommen bin. Mache dir klar, dass die Grundprinzipien trotzdem exakt die gleichen sind wie bei den altbekannten Spaltenvektor-Räumen. Nachtrag: Ich hatte dich vorhin falsch verstanden, und zwar diesen Satz: \quoteon(2022-01-14 18:29 - Felix77777 in Beitrag No. 5) Ich fürchte, dann hab ich da doch etwas durcheinander gebracht.. was mich ein wenig verwirrt ist, dass wenn (x^3 + x^2 + x + 1) zu meiner Basis gehört, ich nicht mithilfe dieses (Basis-)vektors alle anderen Vektoren ausdrücken kann... \quoteoff Ich hatte das so verstanden, dass du der Ansicht bist, dieses Polynom alleine wäre schon eine Basis. So war es aber offensichtlich nicht gemeint (sorry). Aber dann sollte es ja erst recht klar sein: wenn du eine Basis aus vier Vektoren hast, wirst du in keinem solchen Vektorraum alle Vektoren nur als Vielfaches dieses einen Basisvektors darstellen können. Und natürlich auch nicht die anderen Basisvektoren, das ist ja das Wesen einer Basis bzw. der linearen Unabhängigkeit (siehe Beitrag #2 von ligning.) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Felix77777
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 19:40

Nochmal ein herzliches Dankeschön, mir ist jetzt doch viel klarer geworden, was eine Basis ist, und meine ursprüngliche Frage ist damit gelöst, danke für die schnelle und verständliche Hilfe! Ich hätte hier noch eine Folgefrage: Im Anschluss an diesen Nachweis und die Basisbestimmung soll ich jetzt zeigen, dass Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum dieses Vektorraumes, der die Polynome 2x^2 - x^3 , 2x^2 - 5x + 2 und x^2 + 3x^3 enthält. Ich habe zunächst überprüft, ob die Polynome in \IR^4 linear unabhängig sind. Das sollte meiner Auffassung nach der Fall sein. Aber auch hier wäre ich für einen Tipp, wo ich am besten weitermache, sehr dankbar! Ich hätte mir überlegt, ob ich irgendwie einen vierten, linear unabhängigen Vektor finden kann, um anschließend meinen Teilraum als \IR^4 ohne die Vielfachen dieses vierten Vektors zu definieren. Ob das aber dann eindeutig ist, weiß ich nicht... ich würde mich nochmal über Hilfe sehr freuen!


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-14 20:02

Hallo, die drei Polynome sind linear unabhängig, das ist richtig. Was sagt das über einen solchen Teilraum aus? Wenn dir das nicht klar ist: schlage in deinen Unterlagen nach, was man unter einem Teil- bzw. Unterraum versteht. Gruß, Diophant


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Felix77777
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 21:20

Hi Diophant, Danke für's weitere Unterstützen! So wie ich das verstanden hätte, muss ich in meinem Unterraum auch wieder uneingeschränkt addieren und mit einem Skalar multiplizieren können. Ganz naiv hätte ich mal gesagt, dass: U = {\lambda_1 * ( 2x^2 - x^3) + \lambda_2 * ( 2x^2 - 5x + 2) + \lambda_3 * ( x^2 + 3x^3 ) mit \lambda_i \el\ \IR} Könnt es das schon gewesen sein? Ich muss wahrscheinlich nachweisen, dass hier ungehindert addiert werden kann, die Multiplikation ist ja klar ersichtlich.. Danke für die Hilfe! Ich hab mir echt schon viel mitnehmen können bis jetzt :) // Nachtrag: Achso, eigentlich ist ja auch klar erkennbar, dass hier genauso addiert werden darf... könnt es das schon gewesen sein?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-14 22:50

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo nochmals, im Prinzip war es das schon: gesucht ist ja die sog. lineare Hülle der drei Polynome. Da die drei linear unabhängig sind (das sollte man hier aber auf jeden Fall zeigen!), ist klar, dass man alle drei benötigt, um den Unterraum aufzuspannen. Zu deiner Frage: \quoteon(2022-01-14 21:20 - Felix77777 in Beitrag No. 11) Könnt es das schon gewesen sein? Ich muss wahrscheinlich nachweisen, dass hier ungehindert addiert werden kann, die Multiplikation ist ja klar ersichtlich.. // Nachtrag: Achso, eigentlich ist ja auch klar erkennbar, dass hier genauso addiert werden darf... könnt es das schon gewesen sein? \quoteoff Ich würde hier die Menge noch anders notieren. Multipliziere aus und fasse nach den Potenzen von \(x\) zusammen. Dann ist die Gültigkeit der Unterraumkriterien wirklich "offensichtlich", wie man so schön sagt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Felix77777
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15 11:00

\quoteon(2022-01-14 22:50 - Diophant in Beitrag No. 12) Ich würde hier die Menge noch anders notieren. Multipliziere aus und fasse nach den Potenzen von x zusammen. Dann ist die Gültigkeit der Unterraumkriterien wirklich "offensichtlich", wie man so schön sagt. \quoteoff Super, habe das jetzt so gemacht, jetzt ist's wirklich klar erkennbar. Damit ist mir über den ganzen Thread hinweg jetzt das ganze Thema Vektorräume auch viel klarer geworden. Danke nochmal vielmals für die Geduld & die Hilfe!! LG & Alles Gute!


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