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Universität/Hochschule Lange exakte Homologiesequenz
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  Themenstart: 2022-01-17

Hallo zusammen Ich befasse mich aktuell mit "Lange exakte Homologiesequenz" und befasse mich deshalb mit folgendem Satz: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51558_1.JPG Der Beweis ist mit dem sogenannten "Snake Lemma", jedoch verstehe ich schon den ersten Teil des Beweis nicht... Wir betrachten folgendes Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51558_2.JPG Das die mittleren zwei Spalten exakt sind, sehe ich ein. Aber was ist hier $Z_n$ und $B_{n-1}$? Dies geht mir noch nicht in den Kopf... Vielen Dank für eine Aufklärung :-)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-17 13:05 - Math_user im Themenstart) Das die mittleren zwei Spalten exakt sind, sehe ich ein. \quoteoff Meinst du die mittleren zwei Zeilen? (Zumindest habe ich auch genau bei diesen Schlangenlemma Sachen ab und an die Wörter "Zeilen" und "Spalten" verwechselt. 😄) Man definiert $Z_n = \ker(\partial_n)$ und $B_{n-1} = \operatorname{im}(\partial_n)$ (für "cycle/Zykel" und "boundary"). Hilft dir das schon weiter?\(\endgroup\)


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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Vielen Dank für deine Antwort. Ich meine natürlich Zeilen, dies ist ja eine Voraussetzung. Deine Definitionen ergeben zwar auf den ersten Blick sinn, jedoch übersehe ich weshalb dies stimmen sollte. Zum Beispiel hätten wir dann die folgende Sequenz: $$0 \to \ker (\partial_n) \to C_n \to C_{n-1} \to C_{n-1} /im(\partial_n)$$ Doch weshalb sollte diese Sequenz exakt sein?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Es fehlt eine $0$ am Ende deiner Formel. Prüfe das an jedem Term nach! Bei welchem Term ist dir die Exaktheit nicht klar und bei welchem ist sie dir klar? P.S.: $\operatorname{im}$ erhält man durch \operatorname{im}. Wenn dir das zu lang ist, kannst du den Befehl auf deinem MP Profil selber z.B. als \im definieren.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Dies ist genau, was ich versuche zu verifizieren.. Betrachten wir also die Sequenz: $$0 \to \ker (\partial_n) \to C_n \to C_{n-1} \to C_{n-1} / \operatorname{im} (\partial_n)\to 0$$ Betrachten wir den Term $C_n$ als Anfang: Wir wollen zeigen, dass $\ker (\partial_n)= \operatorname{im}(\ker(\partial_n) \to C_n)$ doch ich scheitere in diesem Punkt...


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Kezer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Ich vermute mal, dass es daran scheitert, dass du nicht weißt, wie die Abbildungen $\ker(\partial_n) \to C_n$ und $C_{n-1} \to C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n)$ definiert sind. Wenn das nicht klar ist, kann man natürlich nichts beweisen. Die erste Abbildung ist als Inklusion definiert (denn $\ker(\partial_n) \subseteq C_n$) und die zweite Abbildung ist die Projektion. Ausgeschrieben ist also z.B. \[ \ker(\partial_n) \to C_n, \ x \mapsto x. \] Die andere Abbildung macht auch "nichts". Kommst du jetzt weiter? Du solltest übrigens mit der Exaktheit bei $\ker(\partial_n)$ anfangen.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

\quoteon(2022-01-17 16:52 - Kezer in Beitrag No. 5) Ich vermute mal, dass es daran scheitert, dass du nicht weißt, wie die Abbildungen $\ker(\partial_n) \to C_n$ und $C_{n-1} \to C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n)$ definiert sind. \quoteoff Du hast den Nagel auf den Kopf getroffen! Vielen Dank für deine Erklärungen! Nun konnte ich es erfolgreich für $ker(\partial_n)$ und $C_n$ zeigen. Für $C_{n-1}$ komme ich noch nicht bis zum Schluss. Auch da scheitert es wieder an der Definition der Abbildung: $C_{n-1} \to C_{n-1} / \operatorname{im} (\partial_n)$. Wieder ist $\operatorname{im}(\partial_n)= \ker (C_{n-1} \to C_{n-1}/ \operatorname{im}(\partial_n)$ aber ich stecke wieder im zweiten Teil fest.


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Gut. :-) Wie gesagt, $C_{n-1} \to C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n)$ ist die Projektionsabbildung. Schreibe die Definition aus, was es bedeutet in $\ker(C_{n-1} \to C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n))$ zu liegen.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Mein Problem ist elementarer.. 🙄 Was ist genau die Projektionsabbildung? Finde leider keine saubere Definition dazu


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Was ist die einfachste Abbildung, die du dir vorstellen könntest? Es ist \[ C_{n-1} \to C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n), \ x \mapsto [x], \] wobei $[x]$ die Äquivalenzklasse von $x$ in $C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n)$ bezeichne. \(\endgroup\)


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Natürlich, dies ist tatsächlich die einfachste Abbildung, die man sich vorstellen kann... Ich nehmen nun an, dass $[x]$ die Äquivalenzklasse von $x$ in $C_{n-1}/\operatorname{im}(\partial_n)$ definiert sind als: $[x]:=\{x+ \operatorname{im}(\partial_n)\;|\;x \in C_{n-1}\}$ und somit folgt die Exaktheit ziemlich schnell.


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Guten Morgen, ich scheitere noch an einem letzen Punkt: Für den Beweis abzuschliessen, muss ich zeigen: $$\ker(C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1})=H_n(C_*)=\ker{\partial_n}/\operatorname{im}{\partial_{n+1}}$$ Jedoch sehe ich nicht, wie ich den Kern dieser Abbildung bestimmen soll: $$C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1}$$ Hast mir jemand einen Tipp?


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Kezer
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Ich vermute mal du weißt wieder nicht genau, was $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1}$ ist. Anstatt dass ich sie dir erneut explizit aufschreibe, frage ich nun mal: Was ist die einfachste Abbildung, die du dir vorstellen kannst? Wieso ergibt sie Sinn? Beachte, dass du $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ gegeben hast.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Ich vermute mal wieder eine einfache Abbildung der Form: $$C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1}, [x] \mapsto x$$ Wobei $[x]$ die Äquivalenzklasse von $x$ in $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$ bezeichnet? Ich meine, wir wissen: $$\partial_n : C_n \to C_{n-1}$$ somit gilt, für unsere Funktion $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subseteq C_n \to \ker\partial_{n-1} \subseteq C_{n-1}$..


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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-18 13:02 - Math_user in Beitrag No. 13) Ich vermute mal wieder eine einfache Abbildung der Form: $$C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1}, [x] \mapsto x$$ Wobei $[x]$ die Äquivalenzklasse von $x$ in $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$ bezeichnet? \quoteoff Kann das Sinn ergeben? Das Element $x$ liegt in $C_n$, aber wo lebt $\ker{\partial_{n-1}}$? \quoteon(2022-01-18 13:02 - Math_user in Beitrag No. 13) Ich meine, wir wissen: $$\partial_n : C_n \to C_{n-1}$$ somit gilt, für unsere Funktion $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subseteq C_n \to \ker\partial_{n-1} \subseteq C_{n-1}$.. \quoteoff Ich verstehe nicht, was du sagen möchtest und $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subseteq C_n$ ist falsch.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Okay mal langsam... Wir haben: $\ker(\partial_n)\subset C_{n-1}$ und $\operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subset C_n$. Weshalb sollte nun $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subset C_n$ sein? Nein, meine Definition macht kein Sinn weil $x \in C_n$ ist und nicht in $C_{n-1}$ ist.... 🙄


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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-18 15:08 - Math_user in Beitrag No. 15) Okay mal langsam... Wir haben: $\ker(\partial_n)\subset C_{n-1}$ und $\operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subset C_n$. \quoteoff Und du hast nur eine Abbildung gegeben, welche $C_{n-1}$ und $C_n$ in Beziehung setzt... \quoteon(2022-01-18 15:08 - Math_user in Beitrag No. 15) Weshalb sollte nun $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \subset C_n$ sein? \quoteoff Wie gesagt ist das einfach falsch.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Okay mein Latein ist am Ende.... Wir wollen eine Abbildung für $$C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}} \to \ker\partial_{n-1}$$ bestimmen, dabei wissen wir, dass $\ker\partial_{n-1}$ und $\partial_{n}:C_n \to C_{n-1}$. Dass heisst das Bild unsere Abbildung muss in $C_{n-1}$ sein, welche sind jedoch die Elementen aus $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$? Sind diese Elemente einfach Äquivalenzklassen von $x$ in $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$, wie ich sie weiter oben definiert habe?


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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-18 15:50 - Math_user in Beitrag No. 17) [...] welche sind jedoch die Elementen aus $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$? Sind diese Elemente einfach Äquivalenzklassen von $x$ in $C_n/ \operatorname{im}{\partial_{n+1}}$, wie ich sie weiter oben definiert habe? \quoteoff Ja. Ich würde dir empfehlen, die Definition von Quotientengruppe und Quotientenvektorraum nachzuschlagen und darin ein bisschen zu lesen.\(\endgroup\)


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