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 Untervektorraum der Coketten |
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munu
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 |  Themenstart: 2022-01-18
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Ich möchte gerne nachvollziehen warum die Coketten endlicher Norm einen Untervektorraum \(C^q_{L^2} (\mathfrak{U}, \mathcal{O})\subset C^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}), \, q=0,1 \) bilden.
Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
\(C^q \ne \emptyset\)
weil in den Vorausetzungen eine Garbe abelscher Gruppen definiert wurde
\(f_u+f_w \in C^q \)
da die Cokettengruppe ja eine Gruppe ist also abgeschlossen bezüglich der Addition
Wie ist es jetzt aber mit der Skalarmultiplikation das seh ich nicht.
Und woher weiß ich dass der Untervektorraum abgesschlossen ist?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-18
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Kannst du bitte den vollständigen Kontext angeben und sämtliche Variaben erklären? (Ansonsten lässt sich die Frage nicht beantworten.)
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munu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19
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X Riemannsche Fläche
\((U^*_i, z_i), i=1,...,n\) endliche Familie von Karten auf X, so dass
\(z_i(U^*_i) \subset \mathbb{C}\)Kreisscheiben sind.
\( \mathfrak{U}^*=(U^*_i)_{1\le i \le n }\) muss dabei keine Überdeckung von X sein.
Seien \(U_i \subset U^*_i\)offene Teilmengen und \( \mathfrak{U}:=(U_i)_{1 \le i \le n}\)
In den Cokettengruppen \(C^0(\mathfrak{U}, \mathcal{O})\) und \(C^1(\mathfrak{U}, \mathcal{O})\)
und auf dem Raum
\(|\mathfrak{U}|:= U_1\cup...\cup U_n\)
führen wir folgendermaßen eine \(L^2\)-Norm ein:
Für \(\eta =(f_i) \in C^0 (\mathfrak{U},\mathcal{O})\) sei
\(\parallel \eta \parallel ^2_{L^2(\mathfrak{U})}:= \sum_i \parallel f_i \parallel^2_{L^2(U_i)}\)
Für \(\xi =(f_{ij}) \in C^1 (\mathfrak{U},\mathcal{O})\) sei
\(\parallel \xi \parallel ^2_{L^2(\mathfrak{U})}:= \sum_{i,j} \parallel f_{ij} \parallel^2_{L^2(U_i \cap U_j)}\)
Ehrlich gesagt ist da glaub ich noch einges mehr was ich noch nicht ganz verstehe, zum Beispiel wie ich mir diesen Raum \(|\mathfrak{U}|\) vorzustellen habe der ist ja nur der Teil der offenen Mengen von U stern die ja selbst nicht mal ganz X überdeckt
Aber mit irgenwas muss man ja anfangen.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19
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Du kannst als bekannt voraussetzen, dass die $L^2$-Norm auf offenen Teilmengen von $\IC^k$ eine Norm ist. Du kannst also Summen und Skalare mit den Axiomen einer Norm (am besten noch einmal nachschlagen: https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) ) behandeln. Daraus folgen die Eigenschaften eines Unterraumes sowohl für $C^0_{L^2}$ als auch für $C^1_{L^2}$ sofort, also 1) dass $0$ enthalten ist (vergiss das mit der leeren Menge, warum steht hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=181314 ), 2) Abschluss unter Summen, 3) Abschluss unter skalaren Vielfachen.
"Und woher weiß ich dass der Untervektorraum abgesschlossen ist?" Was meinst du hier mit Abgeschlossen? Bezüglich Summen -> siehe oben. Bezüglich einer Topologie: welcher Topolgie?
Der Ausdruck $f_u + f_w \in C^q$ im Startbeitrag ergibt keinen Sinn (überlege dir, wieso).
Der Raum $|\mathfrak{U}|$, nach dem du fragst, wird hier nirgendwo benutzt. Auch ist unklar, wie man darauf eine Norm definieren soll, es ist ja kein Vektorraum.
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munu
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19
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\quoteon
Was meinst du hier mit Abgeschlossen? Bezüglich Summen -> siehe oben. Bezüglich einer Topologie: welcher Topolgie?
\quoteoff
Im meinem Buch steht
Die Coketten endlicher Norm bilden Untervektorräume
\(C^q_{L^2} (\mathfrak{U}, \mathcal{O})\subset C^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}), \, q=0,1 \) die Hilberträume sind.
Also nehme ich an bezüglich der Topologie unseres zugrundeliegendes Raumes der Riemannschen Fläche X?
\quoteon
Der Ausdruck $f_u + f_w \in C^q$ im Startbeitrag ergibt keinen Sinn (überlege dir, wieso).
\quoteoff
Möglicherweise ist meine Notation etwas undurchsichtig aber ich meinte die Addition zweier Coketten. Die existiert laut meinem Buch und ist komponentenweise definiert.
\quoteon
also 1) dass $0$ enthalten ist
\quoteoff
Also wenn jetzt \( C^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}), \, q=0,1 \) der Vektorraum ist, bezüglich dessen \(C^q_{L^2} (\mathfrak{U}, \mathcal{O}) q=0,1 \) unser Untervektrraum ist dann wäre es ja klar dass $0$ enthalten ist weil ja die $0$ auch quadratintegrierbar ist
Aber ich merke gerade ich weiß gar nicht warum \( C^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}), \, q=0,1 \) ein Vektorraum ist. Das haben wir gar nicht definiert. OhGott es tun sich immer mehr fragen auf.
\quoteon
2) Abschluss unter Summen,
\quoteoff
Also wenn die einzelnen Komponenten quadratintegrierbar sind dann auch die Summe
\quoteon
3) Abschluss unter skalaren Vielfachen.
\quoteoff
Ich versteh eben nicht was ich hier als sklare ranmultiplizieren muss
aber vielleicht sollte ich gar nicht versuchen es mir vorzustellen sondern nur versuchen zu verstehen warum es sich vererbt?
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