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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Triangulierte Kategorien, ausgezeichnete Tripel und das "-"-Zeichen
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Universität/Hochschule Triangulierte Kategorien, ausgezeichnete Tripel und das "-"-Zeichen
KarlRuprecht
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  Themenstart: 2022-01-18

Guten Abend, ich habe eine Frage zu Axiom bei triangulierten Kategorien (siehe https://nlab-pages.s3.us-east-2.amazonaws.com/nlab/show/triangulated+category#definition), die eigentlich recht natürlich einherkommen sollte, aber leider nach meinen bisherigen Recherchen wirklich nirgendwo diskutiert wird. Problem: Nach dem Axiom TR3 gilt, dass für Objekte $X, Y, Z$ und Moprhismen $f,g,h$ einer triangulierten Kategorie $$ X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} TX $$ ein ausgezeichnetes Tripel (engl.: "exact triangle) ist genau dann wenn $$ Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} TX \xrightarrow{-T(f)} TY $$ ein ausgezeichnetes Tripel ist. Soweit so gut, aber ich frage mich ob es einen wichtigen Grund gibt, wieso im rechten Morphismus ein "-" vor $T(f)$ auftaucht. Womöglich ist es rein historischer Natur, vielleicht steckt da aber auch ein essentieller Grund sodass ohne dieses "-" gewisse darauf aufbauende Konstruktionen oder Beweise nicht hinhauen. Weiss jemand mehr dazu? UPDATE: Hab eine ähnliche bzw damit eng zusammenhängeende Frage auch hier gepostet: https://math.stackexchange.com/questions/4366197/minus-sign-in-axiom-tr3-for-triangulated-categories


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coconut
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-18

Hallo, ich denke das Minus hat historische Gründe in Vorzeichenkonventionen für Kettenkomplexe, spielt aber bei der Definition keine Rolle: Das kommutative Diagramm $ \begin{tikzcd} X \ar[r, "f"] \ar[d, "-1"]& Y \ar[r, "g"] \ar[d, "-1"] & Z \ar[r, "h"] \ar[d, "-1"] & TX \ar[d, "1"] \\ X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z \ar[r, "-h"] & TX \end{tikzcd} $ zeigt, dass die Tripel $$ X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} TX $$ und $$ X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{-h} TX $$ isomorph sind. Daher ist das erste genau dann ein ausgezeichnetes Tripel, wenn es das zweite ist.


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Hallo coconut, danke für Deine Antwort. Ok, also wenn das historische Gründe hat, dann ist das natürlich nicht ganz so relevant wie ich zunächst gemutmaßt habe, nichtdestotrotz finde ich es schade, dass sowas in keiner einzigen Quelle zu diesem Themenkomplex die ich kenne zur Sprache kommt. Selbst wenn das rein für die Theorie dahinter nicht entscheidend ist, würde womöglich die Erwähnung woraus diese Vorzeichen- Konvention letztendlich ursprünglich erwuchs vielleicht einen neuen interessanten Blickwinkel auf die Hintergründe worauf manche Grundideen hinter der Entwicklung der Theorie der triangulierten Kategorien bereitstellen. An irgendwas konkretes müssten die Leute bei der Wahl dieses Vorzeichens ja gedacht haben :) Eine Frage zu den Isomorphismus: Das der rechte vertikale Pfeil $ TX \to TX $ gerade $1$ und nicht $-1$ entspricht, iritiert mich. Muss er nicht als $T(-1)=-1$ von $ X \xrightarrow{-1} X $ vom linken Pfeil induziert worden sein? vgl zb hier. Wenn dem so ist, dann funktioniert Dein Argument oben nicht.


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Nice Frage. Die Antwort dazu interessiert mich auch. Also hier nur ein Brainstorm von mir. Coconuts Argument funktioniert (leider) nicht, wie du, KarlRuprecht, sagst. Das ist kein Isomorphismus von Dreiecken. Siehe auch Notes on Triangulated Categories, S. 7: "In contrast, changing the sign of only one of the morphisms in a triangle does in general not yield a second triangle." Ich glaube, das $-$ braucht man schon aus technischen Gründen. Ich würde jetzt einfach mal vermuten, dass die typischen Beispiele nicht funktionieren, wenn dort das Vorzeichen nicht stehen würde. Beispielsweise ist auch die lange Kofaser-Sequenz aus der Topologie von der Form $$ A \xrightarrow{j} X \xrightarrow{q} X/A \xrightarrow{\delta} \Sigma A \xrightarrow{- \Sigma j} \Sigma X \xrightarrow{- \Sigma q} \dots$$ worin die Dreiecke der stabilen Homotopiekategorie enthalten sind (zumindest habe ich das beim Überfliegen gelesen) - und hier sind auch die Vorzeichen auf natürliche Weise drin. (OK, das muss man wahrscheinlich noch ein bisschen modifizieren, da man wohl über Spektra redet. Aber hier kenne ich mich noch nicht aus.) Puppe war laut Wikipedia von der stabilen Homotopiekategorie motiviert triangulierte Kategorien zu definieren. Wahrscheinlich funktioniert die Theorie nicht, wenn das Vorzeichen nicht da wäre? Vermutlich gilt Ähnliches für die Homotopiekategorie von $A$-Moduln $K(A)$, aber ein Argument kann ich gerade nicht anbieten. Dann stellt sich gleichzeitig auch eine interessante Frage: Bekommen wir eine schöne Theorie, wenn man in (TR2) auf das Minuszeichen verzichtet? Edit: Hm, auf S. 24 von Triangulated (and Derived) Categories ist in (TR2) kein Vorzeichen, ich hab das Skript aber nicht gelesen.\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

Hallo Kezer, das mit der Kofaser-Sequenz aus der Topologie, wo $T$ dann die Einhängungen werden, also $$ A \xrightarrow{j} X \xrightarrow{q} X/A \xrightarrow{\delta} \Sigma A \xrightarrow{- \Sigma j} \Sigma X \xrightarrow{- \Sigma q} \dots $$ ist nach meinen Recherchen das älteste Beispiel, wo diese Nuancen mit dem Vorzeichen auftauchen. Da ist dieses "-" geometrisch deutbar als zusätzlicher Flip des eingehängten Raums. Ich denke, wenn man da bereits verstünde, wozu das Minus-Zeichen da ist, würde es auch die Essenz jenen auch im abstrakten Kontext der triangulierten Kats erklären. Vermutung, wieso das "-" in der Kofaser-Sequenz auftaucht: Kann es sein, dass man möchte, dass beliebige vier aufeinanderfolgende Glieder der Sequenz oben, bis auf Homotopie, wie $$ A \xrightarrow{j} X \xrightarrow{q} X/A \xrightarrow{\delta} \Sigma A $$ "aussehen". Betonung: bis auf Homotopie. Daher zB, dass es eine Kettenhomotopie von zB dem Abschnitt $$ X \xrightarrow{q} X/A \xrightarrow{\delta} \Sigma A \xrightarrow{- \Sigma j} \Sigma X $$ zu einer Vier-Term-Sequenz gibt, die eben die Form $ A \xrightarrow{j} X \xrightarrow{q} X/A \xrightarrow{\delta} \Sigma A $ hat, also das Schema Raum, Raum, Quotient, Einhängung. Vielleicht, kann man sowas nur erreichen, wenn dieses Minus-Zeichen da ist?


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20

Das Standardbeispiel einer triangulierten Kategorie bilden ja die Kettenkomplexe in einer additiven Kategorie. Beim Shift eines Kettenkomplexes werden nicht nur die Indizes geshiftet, auch die Vorzeichen verändern sich (siehe Stacks/0119). TR3 würde hier ohne das geannnte Vorzeichen entsprechend nicht gelten.


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hallo Trizeratops, ja danke für das Beispiel, ich glaube die Relevanz von dem Minus-Zeichen lässt sich bei $K(Ab)$ aufgefasst als trangulierte Kategorie noch besser verdeutlichen. Dort sind ja als exakte Dreiecke Sequenzen Kettenkomplexen der Form $$ X_{\bullet} \xrightarrow{f} Y_{\bullet} \xrightarrow{\iota_Y} C(f)_{\bullet} \xrightarrow{pr_{\Sigma X}} \Sigma X_{\bullet} ... $$ wobei $C(f)_{\bullet}= \Sigma X_{\bullet} \oplus Y_{\bullet}$ und dazu isomorphe Sequenzen festgelegt. Hier wird es auch ausführlich bewiesen (Lemma 2.6), insbesondere wie das Vorzeichen in die Rechnung einfließt. Eine Frage bliebe da übrig: Kennst du richtige Gegenbeispiele in $K(Ab)$, wo zwar $$ A_{\bullet} \xrightarrow{f} B_{\bullet} \xrightarrow{g} C_{\bullet} \xrightarrow{h} \Sigma A_{\bullet} ...$$ exaktes Dreieck ist, aber nicht $$ B_{\bullet} \xrightarrow{g} C_{\bullet} \xrightarrow{h} \Sigma A_{\bullet} \xrightarrow{\Sigma f} \Sigma B_{\bullet} ...?$$ Im zitierten Script ist es ja so, dass mit dem Minus Zeichen der Beweis "glatt" durchgeht. Aber das heißt ja a priori dennoch nicht, dass es exakte Dreiecke $ A_{\bullet} \xrightarrow{g} B_{\bullet} \xrightarrow{h} C_{\bullet} \xrightarrow{\sigma f} \Sigma A_{\bullet} ...$ geben kann, sodass $$ B_{\bullet} \xrightarrow{g} C_{\bullet} \xrightarrow{h} \Sigma A_{\bullet} \xrightarrow{\Sigma f} \Sigma B_{\bullet} ...$$ nicht isomorph zu irgendeinem exakten Dreieck der Form $ A'_{\bullet} \xrightarrow{f} B'_{\bullet} \xrightarrow{i_{B'}} cone(f)_{\bullet} \xrightarrow{h} \Sigma A'_{\bullet} $ sind. Oder noch spezifischer: Weißt du, wie man exaktes Dreieck in K(Ab) $ A_{\bullet} \xrightarrow{f} B_{\bullet} \xrightarrow{i_{B}} cone(f)_{\bullet} \xrightarrow{pr} \Sigma A_{\bullet} $ konstruiren kann, sodass $$ B_{\bullet} \xrightarrow{i_{B}} cone(f)_{\bullet} \xrightarrow{pr} \Sigma A_{\bullet} \xrightarrow{\Sigma f} \Sigma B_{\bullet} $$ nicht isomorph zum exakten Dreieck $$ B_{\bullet} \xrightarrow{i_{B}} cone(f)_{\bullet} \xrightarrow{i_{cone(f)}} cone(i_{B})_{\bullet} \xrightarrow{pr} \Sigma B_{\bullet} $$ sein kann? @Kezer: Der verlinkte Skript ist irgendwie seltsam. In Lemma 2.21 macht er von diesem Vorzeichen Gebrauch, im Beweis von Theorem 3.10 wird das Minus danndoch auf eine vertikale Abbildung "übersiedelt". Mir ist da auch nicht ganz klar, wieso der angegebene Beweis dort (TR2) nachweist. Er vergleicht $A \xrightarrow{g} B \xrightarrow{i_1} cone(g) \xrightarrow{\delta} \Sigma A \xrightarrow{\Sigma f} \Sigma B$ mit $A \xrightarrow{g} B \xrightarrow{i_1} cone(g) \xrightarrow{i_2} cone(i_1) \xrightarrow{i_3} cone(i_2)$. Wieso soll daraus (TR2) folgen? Wenn man das linke $A$ wegschmeisst, dann hat $B \xrightarrow{i_1} cone(g) \xrightarrow{i_2} cone(i_1) \xrightarrow{i_3} cone(i_2)$ nicht einmal die Form eines Dreiecks.


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