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| Autor |
 Variablensubstitution bei Integralen in R^d |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1784
 |  Themenstart: 2022-01-19
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Hallo zusammen,
Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Sei $A$, symmetrisch, positiv definit, gegeben. Ziel ist es zu beweisen dass:
$\mathcal{F}(e^{-\frac{1}{2}Ax.x})=\frac{(2\pi)^{d/2}}{\sqrt{det(A)}}e^{-2\pi^2 A^{-1}\xi.\xi}$
1. Zeige durch eine Diagonalisation in der orthogonalen Gruppe dass falls die Formel für eine Diagonalmatrix wahr ist, dann ist sie allgemein wahr.
Bei der Lösung von Teilaufgabe 1. kann ich zwar die einzelnen Schritte nachvollziehen, abe ich sehe irgendwie den Bezug zwischen Aufgabenstellung und Lösung nicht.
Vor allem aber versteh ich nicht, dass wenn man die Substitution $y=Px$ macht, weshalb man dann einfach $dx$ durch $dy$ ersetzen darf.
Ehrlich gesagt habe ich noch nie eine Variablensubstitution im $\mathbb{R}^d$ durchgeführt.
$\int_{\mathbb{R}^d} e^{\frac{1}{2}Ax.x} \cdot e^{2\pi i x.\xi} dx$
Dann sei $A=P^*DP$, wobei $P^{-1}=P^*$ es folgt:
$\int_{\mathbb{R}^d} e^{\frac{1}{2}P^*DPx.x} \cdot e^{2\pi i P^*Px.\xi} dx=\int_{\mathbb{R}^d} e^{\frac{1}{2}DPx.Px} \cdot e^{2\pi i Px.P\xi} dx=\int_{\mathbb{R}^d} e^{\frac{1}{2}Dy.y} \cdot e^{2\pi i y.P\xi} dx$
In der Musterlösung steht aber nicht $dx$ sondern:
$\int_{\mathbb{R}^d} e^{\frac{1}{2}Dy.y} \cdot e^{2\pi i y.P\xi} dy=\mathcal{F}(e^{-\frac{1}{2}Dx.x})(P\xi)$
was geschieht da?
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 Profil
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3601
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-19
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\quoteon(2022-01-19 16:52 - sulky im Themenstart)
was geschieht da?
\quoteoff
Wie du oben schon selbst vermutet hast, wird die Substitution $y:=Px$ gemacht und dann die Transformationsformel für Integrale im $\mathbb R^d$ angewandt, die im allgemeinen Fall $y=\phi(x)$$$
\int_Gf\bigl(\phi(x)\bigr)\,\mathrm dx =
\int_{\phi(G)}f(y)\;
\left|\det{\,\partial\phi^{-1}\!\over\!\partial y\,}\right|\,\mathrm dy
$$lautet. In deinem Fall ist für $\phi(x)=Px$$$
\left|\det{\,\partial\phi^{-1}\!\over\!\partial y\,}\right| =
\left|\det{\partial\phi\over\partial x}\right|^{-1} =
\left|\det P\right|^{-1} = 1 \;,
$$weil aus $P^{-1}=P^*$ folgt $(\det P)^2=1$.
--zippy
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