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  Derivationen |
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NffN1
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 136
 |  Themenstart: 2022-01-23
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Guten Tag,
ich soll Beispiele von Derivationen $D:K[x,y]\to K[x,y]$ $D(fg)=D(f)g+fD(g)$ finden.
Ich weiss, dass in einer Variable, die Ableitung eine Derivation ist, also müsste der Gradient eine Derivation sein. Aber ein weiteres Beispiel fällt mir nicht ein. Gibt es offensichtliche Derivationen die ich übersehe?
MfG,
Noah
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1225
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wie wäre es zum Beispiel mit den partiellen Ableitungen oder beliebigen Linearkombinationen davon? Weiter kannst du, vermöge zwei Derivationen $D_1$ und $D_2$, durch $[D_1,D_2]=D_1\circ D_2-D_2\circ D_1$ eine weitere Derivation erhalten.
LG Nico\(\endgroup\)
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NffN1
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 136
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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Gibt es also nur Derivationen, die durch (partielle) Ableitungen definiert werden? Die Aufgabe besagt nämilch, dass ich "verschiedene" Beispiele finden soll, daher hatte ich gedacht es gibt vielleicht Beispiele anderer Natur.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1225
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstehe. In $K[x,y]$ meine ich mit "partielle Ableitung" die formale partielle Ableitung. Zum Beispiel für $K=\mathbb R$ ist
$$
\frac{\partial}{\partial x}\colon \mathbb R[x,y]\to \mathbb R[x,y], \ p(x,y)\mapsto \frac{\partial}{\partial x}p(x,y)
$$
eine Derivation, da die partielle Ableitung die Produktregel erfüllt, also
$$
\frac{\partial}{\partial x}(p\cdot q)=\frac{\partial}{\partial x}(p)\cdot q+p\cdot \frac{\partial}{\partial x}(q)
$$
gilt.
Wenn $K$ ein Körper ist, dann ist die Menge $\opn{Der}(K[x,y])$ (mit den naheliegenden Verknüpfungen) ein $K$-Vektorraum (bzw. mit dem Kommutator sogar eine Lie-Algebra). Beliebige Linearkombinationen von partiellen Ableitungen (als Operatoren aufgefasst) oder Kommutator-Klammern davon sind also selbst wieder Derivationen.
Edit: Zu deiner Frage, ob alle Derivationen von dieser Form sind: Ist $k$ ein kommutativer Ring, der $\mathbb Q$ enthält, $k[X]:=k[x_1,\dots,x_n]$ der Polynomring über $k$ und $d$ eine $k$-Derivation von $k[X]$, so gilt
$$
d=p_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\dots+p_n\frac{\partial}{\partial x_n},
$$
wobei $p_i:=d(x_i)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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NffN1
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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Okay, habs verstanden.
Danke für die Erklärung!
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NffN1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
NffN1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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