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Universität/Hochschule J Messbarkeit der Menge aller stetigen Funktionen Sigma-Produktalgebra
fp86
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  Themenstart: 2022-01-25

Hallo, ich habe hier auf einem Übungsblatt diese Aufgabe: hier Ich hätte jetzt behauptet, diese Menge wäre nicht in der Produktalgebra, weil um eine Funktion komplett stetig zu machen, muss ich sie überall in R auf den exakten Wert festlegen und kann das nicht nur mit der Festlegung einer abzählbaren Menge von Werten sicherstellen. Ist dieser Grundgedanke korrekt? Und wie würde man das dann formal ausdrücken können? Ich hab mit dem Argument ja nur widerlegt, dass eine Funktion allein nicht in der Menge ist. Ich bin nicht sicher, warum dann die Menge sämtlicher solcher Funktionen zusammen nicht doch wieder in der Algebra sein kann, aber es erscheint mir nicht sinnvoll.


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fp86
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Ok ich habe eine Idee für eine Argumentation: Angenommen diese "Stetige Funktionen"-Gesamtmenge (C) wäre in der Produktalgebra. Dann könnte ich ein beliebiges Element aus C nehmen (also eine beliebige stetige Funktion)und für dieses Element müsste es nun (mindestens) eine abzählbare Menge an Punkten aus R geben, so dass jede Funktion, die auf dieser abzählbaren Menge mit unserer stetigen Funktion übereinstimmt, auch Element von C sein müsste. Um das zu widerlegen nehme ich beispielsweise die konstante Nullfunktion (offensichtlich stetig). Man wähle eine beliebige abzählbare Menge aus R. Da diese abzählbare Menge echt kleiner als R sein muss (da R nicht abzählbar), kann ich immer einen Punkt r aus R, aber außerhalb der abzählbaren Menge finden. Ich definiere einfach eine Funktion g, die überall 0 ist außer auf dem einen Punkt r, wo sie 1 ist. Diese hat auf r somit einen Sprung und ist nicht stetig. Ist die Behauptung damit widerlegt?


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semasch
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-26

Moin fp86, \quoteon(2022-01-25 16:15 - fp86 in Beitrag No. 1) Angenommen diese "Stetige Funktionen"-Gesamtmenge (C) wäre in der Produktalgebra. Dann könnte ich ein beliebiges Element aus C nehmen (also eine beliebige stetige Funktion)und für dieses Element müsste es nun (mindestens) eine abzählbare Menge an Punkten aus R geben, so dass jede Funktion, die auf dieser abzählbaren Menge mit unserer stetigen Funktion übereinstimmt, auch Element von C sein müsste. Um das zu widerlegen nehme ich beispielsweise die konstante Nullfunktion (offensichtlich stetig). Man wähle eine beliebige abzählbare Menge aus R. Da diese abzählbare Menge echt kleiner als R sein muss (da R nicht abzählbar), kann ich immer einen Punkt r aus R, aber außerhalb der abzählbaren Menge finden. Ich definiere einfach eine Funktion g, die überall 0 ist außer auf dem einen Punkt r, wo sie 1 ist. Diese hat auf r somit einen Sprung und ist nicht stetig. Ist die Behauptung damit widerlegt? \quoteoff diese Argumentation passt so. LG, semasch


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fp86
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Super danke! \quoteon(2022-01-26 01:10 - semasch in Beitrag No. 2) Moin fp86, \quoteon(2022-01-25 16:15 - fp86 in Beitrag No. 1) Angenommen diese "Stetige Funktionen"-Gesamtmenge (C) wäre in der Produktalgebra. Dann könnte ich ein beliebiges Element aus C nehmen (also eine beliebige stetige Funktion)und für dieses Element müsste es nun (mindestens) eine abzählbare Menge an Punkten aus R geben, so dass jede Funktion, die auf dieser abzählbaren Menge mit unserer stetigen Funktion übereinstimmt, auch Element von C sein müsste. Um das zu widerlegen nehme ich beispielsweise die konstante Nullfunktion (offensichtlich stetig). Man wähle eine beliebige abzählbare Menge aus R. Da diese abzählbare Menge echt kleiner als R sein muss (da R nicht abzählbar), kann ich immer einen Punkt r aus R, aber außerhalb der abzählbaren Menge finden. Ich definiere einfach eine Funktion g, die überall 0 ist außer auf dem einen Punkt r, wo sie 1 ist. Diese hat auf r somit einen Sprung und ist nicht stetig. Ist die Behauptung damit widerlegt? \quoteoff diese Argumentation passt so. LG, semasch \quoteoff


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