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Lineare Algebra » Eigenwerte » JNF von invertierbarer Matrix, mit charakteristischem Polynom in Linearfaktoren
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Universität/Hochschule JNF von invertierbarer Matrix, mit charakteristischem Polynom in Linearfaktoren
ann-kath
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  Themenstart: 2022-01-25

Hey, es geht um die folgende Aufgabe: Sei \(A\in K^{n,n}\) invertierbar und \(p_A\) zerfällt in Linearfaktoren. Aufgabe: Zeigen sie , dass \(A^{-1}\) eine JNF hat und bestimmen sie eine JNF von \(A^{-1}\) Da \(p_A\) in Linearfaktoren zerfällt, gilt ja auch \(\det(A)=1\lambda\cdot...\cdot n\lambda\). Da \(A\) invertierbar ist, folgt \(\det(A)\neq 0\) wodurch ich schon mal weiß, dass kein Eigenwert von \(A\) gleich 0 ist. Weiter komme ich nicht und ob mir das was bringt weiß ich auch nicht so recht. Ich steh komplett aufm Schlauch. LG ann-kath


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easymathematics
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-25

Hallo, Warum hat A^-1 Jordan-Gestalt? Das charak. Polynom von A zerfällt nach Voraussetzung komplett in LFen. D. h.? => ... Betrachte nun: id*x = A^-1 Ax = ... => (etwas zu Eigenwerten) => (etwas zum Minimalpolynom von A^-1 => usw. :)


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ann-kath
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Hey easymathematics, Ich habe mal so angefangen: $$x=Id\cdot x=A^{-1}\cdot A\cdot x\Rightarrow A^{-1} x=\frac{1}{\lambda}x$$, mit \(\lambda\neq 0\), da sonst \(A\) nicht invertierbar wäre. Damit sind die Eigenwerte von \(A^{-1}\) gleich \(\frac{1}{\lambda}\). Weiter komme ich auch trotz deiner Hinweise nicht. Kannst du mir vielleicht noch etwas helfen? LG ann-kath


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
easymathematics
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26

Das sieht doch schon mal gut aus. Wie geht es nun weiter? Welche "natürliche" Frage solltest Du nun stellen? Z. B. Was kannst Du nun über das charakt. Polynom von A^-1 sagen? Was heißt das für A^-1? Welche "natürliche" Jordan-Form kommt für A^-1 in Frage? Rechne nach, dass A^-1 die Eigenchaft einer Inversen tatsächlich erfüllt.


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