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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » Darstellung des Krümmungstensors
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Universität/Hochschule J Darstellung des Krümmungstensors
Mandacus
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  Themenstart: 2022-02-03

Hallo, ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe aus dem Bereich der Differentialgeometrie bei der es um die Darstellung von Krümmungstensoren bzgl. verschiedener Zusammenhänge geht. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Curvature_connection.jpg Die Krümmungstensoren haben die Darstellung $$ R^{\tilde{\nabla}}(X,Y) \psi =\tilde{\nabla}_X \tilde{\nabla}_Y \psi -\tilde{\nabla}_Y \tilde{\nabla}_X \psi -\tilde{\nabla}_{[X,Y]} \psi \\ R^{\nabla}(X,Y) \psi =\nabla_X \nabla_Y \psi -\nabla_Y \nabla_X \psi -\nabla_{[X,Y]} \psi \\ $$ Für die (äußere) Ableitung von $A$ erhalte ich $$ d(A)=\nabla_X A_Y \psi-\nabla_Y A_X \psi-A_{[X,Y]} \psi $$ und für das äußere Produkt $$ A \wedge A (X,Y)=A_X A_Y \psi-A_Y A_X. $$ Dann ist $$ R^{\tilde{\nabla}}(X,Y) \psi =\tilde{\nabla}_X \tilde{\nabla}_Y \psi -\tilde{\nabla}_Y \tilde{\nabla}_X \psi -\tilde{\nabla}_{[X,Y]} \psi \\ =(\nabla+A)_X (\nabla+A)_Y \psi -(\nabla+A)_Y (\nabla+A)_X \psi -(\nabla+A)_{[X,Y]} \psi \\ =\nabla_X \nabla_Y \psi -\nabla_Y \nabla_X \psi -\nabla_{[X,Y]}\psi \\ +\nabla_X A_Y \psi-\nabla_Y A_X \psi \\ +A_X \nabla_Y \psi-A_Y \nabla_X \psi \\ +A_X A_Y \psi-A_Y A_X \psi-A_{[X,Y]} \psi \\ =R^{\nabla} (X,Y) \psi+d(A)+A \wedge A +A_X \nabla_Y \psi-A_Y \nabla_X \psi $$ Das Problem ist nun, dass meine Rechnung den Term $A_X \nabla_Y \psi-A_Y \nabla_X \psi$ enthält, der in der Aufgabenstellung nicht vorkommt. Daher glaube ich, dass ich einen Fehler gemacht haben muss. Ich sehe aber leider nicht wo dieser liegen könnte.


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Dampfmaschine
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-06

Hallo Mandacus, ich kann auch keinen Fehler in Deiner Berechnung finden. Auf Seite 24 in diesem pdf https://www.asc.ohio-state.edu/terekcouto.1/texts/cartan_formalism.pdf ist der Autor zum selben Ergebnis gekommen. Ich vermute, dass die Aussage \(R^{\tilde{\nabla}}(X,Y) \psi =R^{\nabla} (X,Y) \psi+d(A)+A \wedge A \) nicht korrekt ist. Denn für \(\nabla\) existiert ein \(B \in \Gamma \mathrm{Hom} (TM,\mathrm{End}(E))\), so dass \(\nabla=d+B\). Für die Krümmungen gelten: \(R^{\nabla} = d(B)+B \wedge B \) und \(R^{\tilde{\nabla}} = d(A+B)+(A+B) \wedge (A+B) \\ = d(A)+d(B)+A \wedge A+B \wedge B+A \wedge B+B \wedge A\). Somit müsste \(A \wedge B+B \wedge A =0\) sein. Dies ist aber nicht der Fall. Gruß, Dampfmaschine


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Alif
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-03-02

Hallo Mandacus, ich kann in deiner Rechnung im Prinzip auch keinen Fehler sehen, bin aber in den letzten Wochen, nachdem ich mehrere Literaturen durchgesehen habe und deren Ergebnisse verglichen habe auch zu dem Schluss gekommen, dass man sozusagen schließen kann \(\nabla = \tilde{\nabla}\). Weiterhin wird in meiner Literatur der Krümmungstensor dargestellt durch \(R(X,Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z\). Und man muss auch beachten, dass die Definition manchmal auch mit anderen Vorzeichen gemacht wird, zum Beispiel in Do Carmo, das führt manchmal auch zu Widersprüchen, weil du eben alles richtig machst, aber in der Literatur eben als Definition des Krümmungstensors angekommen wurde, dass gilt \(R(X,Y)Z = \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_X \nabla_Y Z + \nabla_{[X,Y]}Z\). Ich hoffe, dass dir das und die Anmerkungen von Dampfmaschine helfen. Schöne Grüße Alif


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