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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Inhomogene DG zweiter Ordnung lösen
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Universität/Hochschule Inhomogene DG zweiter Ordnung lösen
Boomerhead
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  Themenstart: 2022-02-03

Hallo Leute, Ich hänge etwas an folgender Aufgabe: Man soll die Differentialgleichung \(\frac{1}{2}\ddot x+\dot x +x=1, x(0)=\dot x(0)=0\) lösen. Da wir zuvor DGs zweiter Ordnung und deren Lösungsverfahren besprochen haben, hab ich den Ansatz \(x(t)=c_1 x_1+c_2 x_2-x_1 \int\limits_{0}^{t}\frac{x_2(s)b(s)}{\psi(s)}ds+x_2 \int\limits_{0}^{t}\frac{x_1(s)b(s)}{\psi(s)}ds\) verwendet, wobei \(x_1,x_2\) Lösungen und \(\psi\) die Wronski-Determinante ist. Naja gesagt getan, hab mir dann erstmal die Matrix A=(0,1;-2,-2) erstellt und habe dann die reelle Hauptfundamentalmatrix A=e^(-t)(sin(t)+cos(t),sin(t);-2sin(t),-sin(t)+cos(t)) Soweit so gut. Dann wollte ich alles in die entsprechende Lösungsformel einsetzen und die Integrale lösen. Als Ergebnis erhalte ich aber nur eine unfassbar lange, unüberschaubare Lösung. Nach meinen bisherigen Erfahrungen sind solche Lösungen ja meist nicht richtig (zumindest in Übungsserien). Daher meine Frage: Ist das überhaupt der richtige Ansatz oder kann man hier einen effizienteren, schnelleren Weg nutzen, um eine Lösung der DG zu finden? Würde mich über Hinweise und Anregungen freuen :)


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dietmar0609
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-03

warum löst du die Dgl nicht über die charakteristische Gleichung mit dem Ansatz x = e^(\lambda*t)


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Boomerhead
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03

Danke erstmal für die schnelle Antwort. Du meinst, ich sollte die Lösungen mithilfe dieses Ansatzes finden? Aber dann muss ich ja trotzdem die allgemeine Lösung mit der entsprechenden Formel finden oder ? Zumal ich etwas irritiert bin, weil hier doch keine homogene DG vorliegt. Kann ich dann so einfach die charakteristische Gleichung anwenden ?


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Mandelbluete
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-03

Man könnte erst einmal die homogene Gleichung \[ x'' + 2x' + x = 0 \] mit dem Ansatz $x(t) = ce^{\lambda t}$ von Dietmar lösen. Bestimme $\lambda$. Man bekommt zwei komplexe Werte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ heraus. Man weiß dann, daß die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung \[ x_a(t) = c_1 e^{\lambda_1t} + c_2e^{\lambda_2t} \] lautet. Schreib das schön mit Hilfe von $e^{\mathrm i\varphi} = \cos\varphi + \mathrm i \sin\varphi$. Der Lösungsraum ist also erwartungsgemäß zweidimensional. Nun hat man den Satz, daß die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung \[ x'' + 2x' + x = 1 \] von der Form $x_a(t) + x_s(t)$ ist, wobei $x_s$ eine beliebige spezielle Lösung ist. Nun, die ist leicht durch Raten zu finden. Nimm einfach $x_s(t) = 1$. Bestimme dann noch die beiden Konstanten. Fertig. Je einfacher der Ansatz, desto besser. 🙂


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Boomerhead
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03

Danke für die schnelle Hilfe. Der Ansatz klingt dann schon einfacher. Dennoch die Frage: Wieso kann ich einfach eine spezielle Lösung durch Raten finden? Wozu gibt es dann diese doch komplizierte Formel für die spezielle Lösung?


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Mandelbluete
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-03

Die komplizierte Formel gibt es, um zu zeigen, daß solche Lösungen existieren und wie man sie bekommen kann. Ich denke, die Formel bekommt man mit der Methode der Variation der Konstanten, was wir hätten machen können, wenn auf der anderen Seite etwas Komplizierteres als $1$ gestanden hätte, aber es hat bestimmt kaum jemand die Formel im Kopf. Man geht noch mal die Schritte durch (man kennt die Methode), und dadurch kommt es auch zu weniger Fehlern, weil man immer weiß, was man macht. Vielleicht kommt ja in der nächsten Übungsaufgabe etwas Komplizierteres. Wenn man seine Intuition nutzen und klug raten kann, sollte man das. Da merken wir eben, daß wir Menschen und keine Maschinen sind. Ich glaube, Ramanujan hat mal gesagt, daß ihm vieles als Inspiration im Traum gekommen ist. 😄


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Boomerhead
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03

Alles klar. Ja in der nächsten Teilaufgabe steht tatsächlich keine 1 mehr sondern eine Funktion, die explizit von t abhängt. Da wird es sicherlich etwas komplizierter. Vielen lieben Dank nochmal für die schnelle und gute Erklärung 🙂👍


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
dietmar0609
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-03

dann zeig die inhomogene Dgl mal her. In den meisten Fällen kann man eine Lösung raten oder durch einen geeigneten Ansatz finden.


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