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Universität/Hochschule Lemma für Satz von Radon-Nikodym
Gast123
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  Themenstart: 2022-02-12

Hallo, ich arbeite gerade das Kapitel zum Satz von Radon Nikodym im Elstrodt durch. Dort gibt es ein vorbereitendes Lemma für den Satz. In diesem Lemma gibt es dann folgende Situation, dass man eine Folge $p_n$ findet mit $$\lim_{n \to \infty}\|p_n - h\|_2 = 0,$$ d.h. dass $p_n$ im p-ten Mittel gegen $h$ konvergiert. Wir wissen, dass $0 \leq p_n \leq 1$ gilt und er schreibt dann, dass deshalb "kann gleich $0\leq h \leq 1$ angenommen werden" und refernziert dann ein Korollar vom Satz von Riesz-Fischer, dass besagt, dass wenn obige Situation gilt, es auch eine Teilfolge $p_{n_k}$ existiert, die punktweise fast ueberall gegen $h$ konvergiert. Wie kommt man also darauf dass $0\leq h \leq 1$ gilt? Und fuer was wird die Aussage des Korollars benoetigt? Hat das damit zu tun, dass $h$ als Grenzwert bei Konvergenz im p-ten Mittel nicht eindeutig bestimmt ist? Aber bei Konvergenz punktweise fast ueberall bekommt man ja auch nur punktweise Konvergenz auf dem Komplement einer Nullmenge, man gewinnt damit dann ja nicht wirklich etwas oder? Und wie legt man $h$ dann auf der Nullmenge fest? Kann man da einfach einen beliebigen Wert nehmen?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-14

\quoteon(2022-02-12 11:01 - Gast123 im Themenstart) dass wenn obige Situation gilt, es auch eine Teilfolge $p_{n_k}$ existiert, die punktweise fast ueberall gegen $h$ konvergiert. \quoteoff Wenn man das weiß, dann weiß man auch, dass für $h$ fast überall $0\le h\le1$ gilt. Und da $h$ durch die Bedingung $\|p_n-h\|_2\to0$ ohnehin nur bis auf Nullmengen festgelegt ist, kommt man auf: \quoteon(2022-02-12 11:01 - Gast123 im Themenstart) deshalb "kann gleich $0\leq h \leq 1$ angenommen werden" \quoteoff Denn man kann ja außerhalb der Nullmenge, auf der $0\le h\le1$ gilt, einfach $h=0$ wählen. --zippy


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Gast123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-14

Hallo zippy, danke für die Antwort. Was ich nicht ganz verstehe, warum man nicht schon aus der Konvergenz im p-ten Mittel ableiten kann, dass $0 \leq h \leq 1$ ist?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-14

\quoteon(2022-02-14 15:56 - Gast123 in Beitrag No. 2) Was ich nicht ganz verstehe, warum man nicht schon aus der Konvergenz im p-ten Mittel ableiten kann, dass $0 \leq h \leq 1$ ist? \quoteoff Neben der $L^p$-Konvergenz wurden keine weiteren Voraussetzungen verwendet, also wurde die Aussage doch aus der $L^p$-Konvergenz abgeleitet. Dass der Autor die einzelnen Schritte erwähnt, liegt vermutlich daran, dass er das Ganze nicht als Satz formuliert hat bzw. nicht als Satz formulieren will.


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Gast123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-14

Hallo zippy, also er sagt im Detail: "Es gibt also ein $h \in \mathcal{L}^2(\rho)$ mit $\|p_n - h \|_2 \rightarrow 0$, und wegen $0\leq p_n \leq 1$ kann gleich $0\leq h \leq 1$ angenommen werden (Korollar VI.2.7)" Und dieses Korollar, das er da quasi als Begruendung fuer diese Aussage zitiert, ist das Korollar vom Satz von Riesz-Fischer, dass also eine Konvergente Teilfolge existiert die punktweise fast ueberall gegen $h$ konvergiert. D.h. er leitet die Aussage eben aus der punktweisen Konvergenz fast ueberall ab und nicht aus der Konvergenz im p-ten Mittel. Aber ich dachte mir, dass schon die Aussage $\|p_n - h \|_2 \rightarrow 0$ bedeutet, dass $0\leq h \leq 1$ fast ueberall gilt, dass man also die punktweise Konvergenz fast ueberall gar nicht benoetigt fuer diese Aussage. Denn die Konvergenz im p-ten Mittel bedeutet ja, dass es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $n_0$ gibt, sodass fuer alle $n\geq n_0$ gilt: $$\left(\int_X |p_n - h|^2 d\rho\right)^{1/2} < \varepsilon.$$ Und dann muss ja $h$ fast ueberall auch in $0\leq h \leq 1$ sein, oder kann man das daraus gar nicht schließen? Falls nicht, warum?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-14

\quoteon(2022-02-14 16:50 - Gast123 in Beitrag No. 4) Und dann muss ja $h$ fast ueberall auch in $0\leq h \leq 1$ sein, oder kann man das daraus gar nicht schließen? Falls nicht, warum? \quoteoff Einen Schluss kann man nicht mit "es sieht plausibel aus, daher glaube ich daran, bis mir jemand das Gegenteil beweist" begründen. Sicher gibt es einen Weg, das zu zeigen, ohne den Umweg über die punktweise Konvergenz fast überall zu gehen, aber ich bezweifle, dass dieser Weg einfacher ist. Hier kannst du beide Wege mal für den $L^1$-Fall vergleichen.


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Gast123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-15

Okay alles klar, danke fuer die Antworten!


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